Torção de uma curva
No geometria diferencial de curvas elementar em três dimensões, a torção de uma curva mede quão agudamente é torcida para fora do plano da curvatura. Tomada em conjunto, a curvatura e a torção de uma curva espacial são análogas à curvatura de uma curva plana. Por exemplo, elas são os coeficientes do sistema de equações diferenciais para o triedro de Frenet dado pelas fórmulas de Frenet-Serret.[1]
Definição
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Torus-Knoten_uebereinander_Animated.gif/170px-Torus-Knoten_uebereinander_Animated.gif)
Definimos como uma curva no espaço a seguinte função
parametrizada pelo comprimento do arco e com vetor tangente unitário
Se a curvatura da curva em um certo ponto é diferente de zero, então, neste ponto os vetores unitários, vetor normal e vetor binormal serão os seguintes:
A torção mede a velocidade de rotação do vetor binormal no ponto escolhido. Ela pode ser encontrada de acordo com a seguinte equação
Significado geométrico: A torção mede a velocidade do vetor binormal. Quanto maior for, mais rápido o vetor binormal gira em torno do eixo dado pelo vetor tangente. Podemos vizualizar o seu significado na ilustração gráfica presente neste artigo, na qual o vetor tangente está representado na cor marrom, o vetor normal, em verde, e o vetor binormal, em azul. No gráfico, o valor da torção é representado pela cor azul, e, em verde, o valor da curvatura.
Definição Alternativa
Definimos r = r(t) como uma equação paramétrica de uma curva no espaço. Assumimos que a parametrização é regural e que a curvatura não desapareça. Se r(t) é uma função diferenciável três vezes em relação a t com valores no espaço R3, e os vetores
são linearmente independentes, então, a torção pode ser calculada com a seguinte formula:
na qual as derivadas são em respeito a t e o símbolo de multiplicação representa o produto vetorial.
Referências
- ↑ Paul Saurel; On the Torsion of a Curve]; Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 9, No. 3 (Apr., 1908), pp. 144-148.