Teorema multinomial

Em matemática, o teorema multinomial, polinômio de Leibnitz, polinômio de Leibniz ou fórmula do multinômio de Newton é uma generalização do binômio de Newton.^[1]

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}.}$

A soma é feita sobre todas as possibilidades de índices inteiros não negativos k₁ até k_m tais que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{k_{i}}=n}$.

Os coeficientes multinomiais são definidos como:^[2]

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$

A potência arbitrária de um trinômio pode ser obtida por um caso particular da fórmula do multinômio de Newton:

${\displaystyle (a+b+c)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\sum _{p=0}^{k}{\frac {n!}{(n-k)!(k-p)!p!}}a^{n-k}b^{k-p}c^{p}}$

Onde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ são números reais e n é um número natural.

Seja ${\displaystyle n=3}$, então temos

${\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.}$

Isso pode ser calculado usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, mas também pode ser feito (talvez mais facilmente) com o teorema multinomial. É possível descobrir os coeficientes multinomiais dos termos usando a fórmula do coeficiente multinomial. Por exemplo:

${\displaystyle a^{2}b^{0}c^{1}}$ tem o coeficiente ${\displaystyle {3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.}$

${\displaystyle a^{1}b^{1}c^{1}}$ tem o coeficiente ${\displaystyle {3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.}$

O wikilivro Matemática elementar tem uma página intitulada Estudo de um trinômio elevado a um número qualquer

• Binômio de Newton
• Pirâmide de Pascal

Referências