Teorema do gráfico fechado

Em matemática, o Teorema do gráfico fechado é um dos resultados fundamentais da análise funcional. Ele estabelece uma relação entre a continuidade de um operador linear e o fato de seu gráfico ser fechado.[1]

Enunciado

Sejam X {\displaystyle X\,} e Y {\displaystyle Y\,} dois F-espaços, Λ : X → Y {\displaystyle \Lambda :X\to Y\,} um operador linear. O gráfico G {\displaystyle G\,} de Λ {\displaystyle \Lambda \,} é definido como:[1]

G := { ( x , Λ x ) : x ∈ X } {\displaystyle G:=\{(x,\Lambda x):x\in X\}\,}

O teorema do gráfico fechado afirma que Λ {\displaystyle \Lambda \,} é limitado se e somente se G {\displaystyle G\,} é um conjunto fechado em X × Y {\displaystyle X\times Y\,} .[1]

Referências

  1. ↑ a b c Rudin 1991, pp. 51.

Bibliografia

  • Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill 


  • Portal da matemática