Em matemática, o teorema da aproximação de Stone-Weierstrass afirma que toda função real contínua cujo domínio é um intervalo compacto, ou seja, fechado e limitado pode ser aproximado uniformemente por polinômios.
Várias generalizações deste teorema foram estabelecidas, como, por exemplo, generalizando a família de aproximantes (que podem ser substituídos por qualquer álgebra de funções com certas propriedades) ou substituindo o domínio por um compacto qualquer.
Demonstração da versão real
A versão real deste teorema admite uma demonstração construtiva simples usando os polinômios de Bernstein.
Seja
uma função contínua. Então para todo
, existe um polinômio
tal que:
, ou seja:
.
Dem.: Sem perda de generalidade, podemos supor
e
.
Primeiramente, estabeleçamos uma estimativa:
(Veja polinómios de Bernstein)
Como
é uma função contínua em um compacto,
é também uniformemente contínua. Logo existe
tal que
sempre que
e
e ainda existe uma constante
tal que
.
Agora, defina:
![{\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}f\left({\frac {i}{n}}\right)B_{i}^{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abae61034044b5fc266b53a5f0f88c7192935ff0)
Como
, vale que
e vale a estimativa:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}|f(x)-P_{n}(x)|&\leq &\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\left|f(x)-f\left({\frac {i}{n}}\right)\right|B_{i}^{n}(x)\\&=&\displaystyle \sum _{S_{1}}\left|f(x)-f\left({\frac {i}{n}}\right)\right|B_{i}^{n}(x)+\displaystyle \sum _{S_{2}}\left|f(x)-f\left({\frac {i}{n}}\right)\right|B_{i}^{n}(x)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30205954e5d9daf24de918d935f61de12bc3f9c4)
onde
e
.
![{\displaystyle \sum _{S_{1}}\left|f(x)-f\left({\frac {i}{n}}\right)\right|B_{i}^{n}(x)\leq \sum _{S_{1}}\varepsilon /2B_{i}^{n}(x)\leq \varepsilon /2\sum _{i=1}^{n}B_{i}^{n}(x)=\varepsilon /2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05fc2a4b9e6a7e186db38480269a3033bad638d8)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum _{S_{2}}\left|f(x)-f\left({\frac {i}{n}}\right)\right|B_{i}^{n}(x)&\leq &2M\displaystyle \sum _{S_{2}}B_{i}^{n}(x)\leq 2M\displaystyle \sum _{S_{2}}{\frac {(x-i/n)^{2}}{\delta ^{2}}}B_{i}^{n}(x)\\&\leq &{\frac {2M}{\delta ^{2}}}\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(x-i/n)^{2}B_{i}^{n}(x)\leq {\frac {M}{2\delta ^{2}n}}<\epsilon /2,{\hbox{ se }}n>M/\varepsilon \delta ^{2}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27af75df15ca73b6e94f242628d8946148193805)
E o resultado segue, escolhendo
e
.
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