Teorema de Liouville

O teorema de Liouville é um teorema de análise complexa que diz que uma função complexa inteira e limitada é constante. Este teorema permite demonstrar o teorema fundamental da álgebra de maneira bastante elementar

Demonstrações

Em ambas as demonstrações, seja M um majorante de |f|.

Primeira demonstração

Seja z ∈ C. Para cada r > |z|, tem-se, pela desigualdade de Cauchy (com n = 1), |f′(z)| < M/r. Mas então

| f ′ ( z ) | ⩽ lim r → + ∞ M r = 0. {\displaystyle |f'(z)|\leqslant \lim _{r\rightarrow +\infty }{\frac {M}{r}}=0.}

Logo, f′(z) = 0. Como isto acontece para cada z ∈ C, f é constante.

Segunda demonstração

Sejam z e w números complexos e seja r um número real tal que |z|,|w| ≤ r. Seja

γ ( r ) : [ 0 , 2 π ] ⟶ C t ↦ r e i t . {\displaystyle {\begin{array}{rccc}\gamma (r)\colon &[0,2\pi ]&\longrightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &re^{it}.\end{array}}}

Então, pela fórmula integral de Cauchy, vale o seguinte

f ( z ) = 1 2 π i ∫ γ ( r ) f ( u ) u − z d u {\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma (r)}{\frac {f(u)}{u-z}}du} e f ( w ) = 1 2 π i ∫ γ ( r ) f ( u ) u − w d u {\displaystyle f(w)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma (r)}{\frac {f(u)}{u-w}}du}

pelo que

| f ( z ) − f ( w ) | = | 1 2 π i ∫ γ ( r ) f ( u ) u − z d u − 1 2 π i ∫ γ ( r ) f ( u ) u − w d u | = 1 2 π | ∫ γ ( r ) f ( u ) u − z − f ( u ) u − w d u | = 1 2 π | ∫ γ ( r ) f ( u ) ( z − w ) ( u − z ) ( u − w ) d u | ⩽ 2 π r M | z − w | 2 π ( r − | z | ) ( r − | w | ) = r | z − w | ( r − | z | ) ( r − | w | ) ⋅ {\displaystyle {\begin{aligned}|f(z)-f(w)|&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma (r)}{\frac {f(u)}{u-z}}du-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma (r)}{\frac {f(u)}{u-w}}du\right|\\&={\frac {1}{2\pi }}\left|\int _{\gamma (r)}{\frac {f(u)}{u-z}}-{\frac {f(u)}{u-w}}du\right|\\&={\frac {1}{2\pi }}\left|\int _{\gamma (r)}{\frac {f(u)(z-w)}{(u-z)(u-w)}}du\right|\\&\leqslant {\frac {2\pi rM|z-w|}{2\pi (r-|z|)(r-|w|)}}\\&={\frac {r|z-w|}{(r-|z|)(r-|w|)}}\cdot \end{aligned}}}

Logo,

| f ( z ) − f ( w ) | ⩽ lim r → + ∞ r | z − w | ( r − | z | ) ( r − | w | ) = 0. {\displaystyle |f(z)-f(w)|\leqslant \lim _{r\rightarrow +\infty }{\frac {r|z-w|}{(r-|z|)(r-|w|)}}=0.}

Corolário

O teorema de Liouville afirma que a imagem de uma função inteira não constante f não é um conjunto limitado. De facto, a imagem de uma função inteira não constante é sempre um conjunto denso. Este resultado parece muito mais forte do que o teorema de Liouville, mas é um corolário dele. De facto, suponha-se que a imagem de f não era densa. Então haveria algum número complexo w e algum r > 0 tal que a imagem de f não conteria nenhum elemento do disco de raio r centrado em w. Mas então definimos

g : C ⟶ C z ↦ 1 w − f ( z ) , {\displaystyle {\begin{array}{rccc}g\colon &\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\&z&\mapsto &{\frac {1}{w-f(z)}},\end{array}}}

a função g seria inteira não constante e, para cada z ∈ C ter-se-ia

| g ( z ) | = | 1 w − f ( z ) | = 1 | w − f ( z ) | < 1 r , {\displaystyle |g(z)|=\left|{\frac {1}{w-f(z)}}\right|={\frac {1}{|w-f(z)|}}<{\frac {1}{r}},}

que g e limitada, contradizendo o teorema de Liouville.

Generalizações

Um teorema mais forte do que o teorema de Liouville é o pequeno teorema de Picard, que afirma que se f é uma função inteira não constante, então a sua imagem é C ou C \ {a}, para algum a ∈ C. Um teorema ainda mais forte é o grande teorema de Picard, que afirma que se f for uma função inteira não polinomial e se w ∈ C, então a equação f(z) = w tem uma infinidade de soluções com, quando muito, uma excepção.

Bibliografia

  • L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.
  • J. Conway, Functions of One Complex Variable, Berlin: Springer-Verlag, 1978.
  • R. Remmert, Classical Topics on Complex Function Theory, Berlin: Springer-Verlag, 1998.
  • Portal da matemática