Teorema da categoria de Baire

Em matemática, sobretudo na análise funcional, o teorema da categoria de Baire ou apenas teorema de Baire fornece condições suficientes para estabelecer que determinado espaço topológico é um espaço de Baire, ou seja, um espaço de segunda categoria em si. Este resultado possui esse nome em homenagem ao matemático René-Louis Baire (1874 - 1932), onde em sua tese intitulada Sur les fonctions de variable réelles ("On the Functions of Real Variables"), trouxe a noção de conjunto magro e o resultado que leva seu nome.

Enunciado

• Na teoria dos espaços métricos completos, o teorema de Baire possui os seguintes enunciados equivalentes:

1. Se ${\displaystyle F=\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }F_{n}}$ onde ${\displaystyle int(F_{n})=\varnothing }$, para todo ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, então ${\displaystyle int(F)=\varnothing }$;
2. Todo conjunto magro tem interior vazio;
3. Se ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {n} }}$é uma família de conjuntos abertos e densos então ${\displaystyle A=\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}}$é denso em M.

• Do ponto de vista topológico, podemos apresentar a seguinte formulação:

1. Todo espaço localmente compacto de Hausdorff não vazio é um espaço de Baire.

Demonstração

Uma das demonstrações deste resultado, que se faz necessária a completude do espaço na qual estamos trabalhando é feita de forma construtiva. Sabendo que as afirmações citadas são equivalentes, apresentaremos a demonstração do item 3):

Seja ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$uma família de conjuntos abertos e densos de um espaço métrico completo M. Queremos mostrar que dada qualquer bola aberta ${\displaystyle B_{1}}$tem-se que ${\displaystyle A\cap B_{1}\neq \varnothing }$. Assim, seja ${\displaystyle B_{1}}$ uma bola aberta arbitrária, sendo ${\displaystyle A_{1}}$aberto e denso temos que${\displaystyle A_{1}\cap B_{1}}$é aberto e não-vazio, desta forma existe ${\displaystyle r>0}$tal que ${\displaystyle B_{r}\subset A_{1}\cap B_{1}}$. Tomando uma bola aberta ${\displaystyle B_{2}}$de raio menor que ${\displaystyle r}$ e menor ou igual a ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, temos que ${\displaystyle {\overline {B_{2}}}\subset B_{r}\subset A_{1}\cap B_{1}}$. Prosseguindo da mesma forma, obtemos uma ${\displaystyle B_{3}}$ de raio menor que ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$tal que ${\displaystyle {\overline {B_{3}}}\subset A_{2}\cap B_{2}}$e portanto para todo ${\displaystyle n}$, temos que existe ${\displaystyle B_{n+1}}$tal que ${\displaystyle {\overline {B_{n+1}}}\subset A_{n}\cap B_{n}.}$

Por construção, obtemos uma sequência decrescente ${\displaystyle {\overline {B_{1}}}\supset {\overline {B_{2}}}\supset ...\supset {\overline {B_{n}}}\supset ...}$com ${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }diam({\overline {B_{n}}})=0}$. Sendo ${\displaystyle M}$ completo, segue do caso geral do Teorema do encaixe de intervalos que ${\displaystyle \bigcap \limits _{n=1}^{\infty }{\overline {B_{n}}}=\{a\}}$. Como, ${\displaystyle {\overline {B_{n+1}}}\subset A_{n}\cap B_{n}}$para todo ${\displaystyle n}$e ${\displaystyle a\in B_{1}}$, segue que ${\displaystyle A\cap B_{1}\neq \varnothing }$.

Consequência

Uma consequência direta do teorema de Baire é a seguinte:

• Seja ${\displaystyle M}$ um espaço métrico completo. Se ${\displaystyle M=\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }F_{n}}$ enumerável onde cada ${\displaystyle F_{n}}$ é fechado em ${\displaystyle M}$, então existe pelo menos um ${\displaystyle n}$, tal que ${\displaystyle intF_{n}\neq \varnothing }$.

Aplicações

O teorema de Baire é um importante resultado na matemática, principalmente na análise devido ao seu grande número de consequências. Abaixo apresentaremos algumas de suas aplicações:

• A reta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é não-enumerável.

A demonstração deste fato é bastante simples, e segue abaixo: Suponha que ${\displaystyle \mathbb {R} }$ seja enumerável, então ${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }r_{n}}$, isto é, podemos escrever ${\displaystyle \mathbb {R} }$ como sendo a reunião enumerável de seus pontos que são claramente fechados em ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Segue então do corolário do teorema de Baire que existe ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ tal que um dos pontos de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tem interior não-vazio, o que é um absurdo.

• Seja ${\displaystyle I=[a,b]}$ um intervalo e ${\displaystyle C={\mathcal {C}}_{0}(I,\mathbb {R} )}$ o conjunto das aplicações limitadas ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$ com a métrica da convergência uniforme ${\displaystyle d(f,g)=\sup \limits _{x\in I}|f(x)-g(x)|}$. O conjunto ${\displaystyle B=\{f\in C_{0}(I,\mathbb {R} )\;|\;f\;possui\;derivada\;em\;algum\;ponto\;de\;I\}}$ é magro em ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}(I,\mathbb {R} )}$, ou seja, o conjunto das funções ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{0}(I,\mathbb {R} )}$ que não possuem derivada em ponto algum de ${\displaystyle I}$ contém uma interseção enumerável de abertos densos em ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}(I,\mathbb {R} )}$. De maneira intuitiva, este resultado garante que existem mais funções contínuas que não possuem derivada em ponto algum de ${\displaystyle I}$ do que as que possuem.

• Seja ${\displaystyle M,N}$ espaços métricos e ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ uma sequência de aplicações contínuas tal que ${\displaystyle f_{n}:M\rightarrow N}$ converge para ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ simplesmente. Se M é completo então o conjunto dos pontos de descontinuidades de ${\displaystyle f}$ é magro em ${\displaystyle M}$.

Na análise funcional:

• Teorema do mapeamento aberto
• Teorema do gráfico fechado
• Princípio da limitação uniforme ou Teorema de Banach - Steinhaus

• Portal da matemática

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Referências

• LIMA, Elon Lages. Espaços Métricos. Rio de Janeiro. Editora Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2003.