Relação reflexiva

Na matemática, uma relação reflexiva é uma relação binária ${\displaystyle R}$ sobre um conjunto ${\displaystyle X}$ em que cada elemento de ${\displaystyle X}$ está relacionado a si mesmo.^[1][2] Formalmente, isso pode ser escrito ${\displaystyle \forall x\in X:xRx}$.

Um exemplo de uma relação reflexiva é a relação "é igual a" no conjunto de números reais, já que todo número real é igual a ele mesmo. Diz-se que uma relação reflexiva tem a propriedade reflexiva ou é possuidora de reflexividade. Juntamente com a simetria e a transitividade, a reflexividade é uma das três propriedades que definem as relações de equivalência.

Uma relação binária é chamada de irreflexiva, ou antirreflexiva, se não relacionar qualquer elemento a si mesma. Um exemplo é a relação "maior que" (${\displaystyle x>y}$) nos números reais. Nem toda relação que não é reflexiva é irreflexiva; é possível definir relações em que alguns elementos estão relacionados a si mesmos, mas outros não (ou seja, nem todos nem nenhum). Por exemplo, a relação binária "o produto de ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ é par" é reflexiva no conjunto de números pares, irreflexiva no conjunto de números ímpares e não reflexiva nem irreflexiva no conjunto de números naturais.

Uma relação ${\displaystyle \sim }$ em um conjunto ${\displaystyle X}$ é chamada quase reflexiva se todo elemento relacionado a algum elemento também estiver relacionado a si mesmo, formalmente: ${\displaystyle \forall x,y\in X:x\sim y(x\sim x\land y\sim y)}$. Um exemplo é a relação "tem o mesmo limite que" no conjunto de sequências de números reais: nem toda sequência tem um limite e, portanto, a relação não é reflexiva, mas se uma sequência tem o mesmo limite de alguma sequência, então tem o mesmo limite que ela. Faz sentido distinguir a quase reflexividade esquerda e direita, definida por ${\displaystyle \forall x,y\in X:x\sim y\Rightarrow x\sim x}$^[3] e ${\displaystyle \forall x,y\in X:x\sim y\Rightarrow y\sim y}$, respectivamente. Por exemplo, uma relação euclidiana esquerda é sempre esquerda, mas não necessariamente direita, quase reflexiva.

Uma relação ${\displaystyle \sim }$ em um conjunto ${\displaystyle X}$ é chamada de super-reflexiva se para todos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle X}$ implica que se ${\displaystyle x\sim y}$ então ${\displaystyle x=y}$.^[4] Um exemplo de uma relação super-reflexiva é a relação em números inteiros em que cada número ímpar está relacionado a si mesmo e não há outras relações. A relação de igualdade é o único exemplo de uma relação tanto reflexiva como super-reflexiva, e qualquer relação super-reflexiva é um subconjunto da relação de identidade. A união de uma relação super-reflexiva e transitiva é sempre transitiva.

Uma relação reflexiva em um conjunto não-vazio ${\displaystyle X}$ não pode ser irreflexiva, nem assimétrica, nem intransitiva.

O fecho reflexivo ${\displaystyle \simeq }$ de uma relação binária ${\displaystyle \sim }$ em um conjunto ${\displaystyle X}$ é a menor relação reflexiva em ${\displaystyle X}$ que é um superconjunto de ${\displaystyle \sim }$. Equivalentemente, é a união de ${\displaystyle \sim }$ e a relação de identidade em ${\displaystyle X}$, formalmente: ${\displaystyle (\simeq )=(\sim )\cup (=)}$. Por exemplo, o fechamento reflexivo de ${\displaystyle (<)}$ é ${\displaystyle (\leq )}$.

A redução reflexiva, ou núcleo irreflexivo, de uma relação binária ${\displaystyle \sim }$ em um conjunto ${\displaystyle X}$ é a menor relação ${\displaystyle \ncong }$ tal que ${\displaystyle \ncong }$ compartilha o mesmo fechamento reflexivo que ${\displaystyle \sim }$. Pode ser visto de uma maneira como o oposto do fecho reflexivo. É equivalente ao complemento da relação de identidade em ${\displaystyle X}$ em relação a ${\displaystyle \sim }$, formalmente: ${\displaystyle (\ncong )=(\sim )\backslash (=)}$. Isto é, é equivalente a ${\displaystyle \sim }$ exceto onde ${\displaystyle x\sim x}$ é verdadeiro. Por exemplo, a redução reflexiva de ${\displaystyle (\leq )}$ é ${\displaystyle (<)}$.

Exemplos de relações reflexivas incluem:

• "é igual a" (igualdade)
• "é um subconjunto de" (inclusão de conjunto)
• "divide" (divisibilidade)
• "é maior que ou igual a"
• "é menor ou igual a"

Exemplos de relações irreflexivas incluem:

• "não é igual a"
• "é coprimo a" (para os inteiros >1, já que 1 é coprimo a si mesmo)
• "é um subconjunto próprio de"
• "é maior que"
• "é menor do que"

O número de relações reflexivas em um conjunto de ${\displaystyle n}$-elementos é ${\displaystyle 2^{n^{2}-n}}$.^[5]

Autores em lógica filosófica frequentemente usam terminologia diferente. As relações reflexivas no sentido matemático são chamadas totalmente reflexivas na lógica filosófica, e as relações quase reflexivas são chamadas reflexivas.^[6][7]

• Levy, A. (1979) Basic Set Theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
• Lidl, R. and Pilz, G. (1998). Applied abstract algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag. ISBN 0-387-98290-6
• Quine, W. V. (1951). Mathematical Logic, Revised Edition. Reprinted 2003, Harvard University Press. ISBN 0-674-55451-5
• Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Reflexivity», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer