Regra do quociente

Cálculo
Definições

Conceitos

Tabela de derivadas

  • Somas
  • Produto
  • Regra da cadeia
  • Potências
  • Quocientes
  • Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral

Definições

Integração por

Cálculo especializado
  • v
  • d
  • e

Em matemática, a regra do quociente (ver derivada), rege a diferenciação de quocientes de funções diferenciáveis.

Pode ser apresentada como:

( f g ) ′ = g f ′ − f g ′ g 2 {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {gf'-fg'}{g^{2}}}}

ou, segundo a notação de Leibniz:

d d x ( u v ) = v d u d x − u d v d x v 2 . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}.}

Demonstração:

f ( x ) = u ( x ) v ( x )   ( I ) {\displaystyle f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}\ (I)}

Então u ( x ) = f ( x ) ⋅ v ( x ) {\displaystyle u(x)=f(x)\cdot v(x)}

Pela regra do produto:

u ′ ( x ) = f ′ ( x ) ⋅ v ( x ) + f ( x ) ⋅ v ′ ( x )   ( I I ) {\displaystyle u'(x)=f'(x)\cdot v(x)+f(x)\cdot v'(x)\ (II)}

Utilizando (I) e (II), temos:

u ′ ( x ) = f ′ ( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) v ( x ) ⋅ v ′ ( x ) {\displaystyle u'(x)=f'(x)\cdot v(x)+{\frac {u(x)}{v(x)}}\cdot v'(x)}

u ′ ( x ) = f ′ ( x ) ⋅ v ( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v ′ ( x ) v ( x ) {\displaystyle u'(x)={\frac {f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)}{v(x)}}}

u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) = f ′ ( x ) ⋅ v ( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v ′ ( x ) {\displaystyle u'(x)\cdot v(x)=f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)}

u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) − u ( x ) ⋅ v ′ ( x ) = f ′ ( x ) ⋅ v ( x ) ⋅ v ( x ) {\displaystyle u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)=f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)}

u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) − u ( x ) ⋅ v ′ ( x ) v ( x ) 2 = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{v(x)^{2}}}=f'(x)}

f ′ ( x ) = u ′ v − v ′ u v 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}}

  • Portal da matemática
Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.
  • v
  • d
  • e