Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem não se enquadram em nenhum dos métodos clássicos de solução. No entanto, as vezes é possível reescrever essas equações de modo a viabilizar o uso de um método clássico de solução. Este é o caso das equações redutíveis à homogênea. Essa classe de equações tem o lado direito dado por uma função que depende de uma expressão do tipo
. Independente das constantes
existem substituições que permitem reescrever a equação como uma equação homogênea de primeira ordem. Por esse motivo, essa classe é chamada de redutíveis à homogênea
Definição
Considere a equação diferencial ordinária de primeira ordem
Se
é da forma
, em que
, dizemos que a equação é redutível à homogênea[1].
Exemplos
![{\displaystyle y'={\frac {t+y-2}{t-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9f59b8a62c1555e0f12bd96e3af06d4f128b65)
![{\displaystyle y'={\frac {2t-6y-1}{t-3y-4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0035fbeaf2f5e44c50e08305ca452269a4170f)
Resolvendo uma equação redutível a homogênea
Há dois casos a considerar:
- Se
![{\displaystyle a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}\neq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22717ee1b95b0ca7d0953588534aa9af1754755)
Observe que neste caso o sistema linear
tem única solução
Neste caso definimos
e
. Logo,
e
.
Com base nisso,
e
pois
é solução do sistema linear.
Dessa forma, a equação diferencial fica
que é uma equação homogênea[2] [1] em relação as variáveis
e
.
A solução da equação é obtida usando o método para equações homogêneas de primeira ordem.
- Se
![{\displaystyle a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa34770ed8c0015c4e50f9610d9c44075e695e77)
Segue que
. Portanto,
e
.
Com isso, a equação diferencial inicial fica
Façamos agora a mudança de variável
. Daí,
ou
De onde segue que
Substituíndo na equação inicial
ou
Que é uma equação de variável separavel. Logo, obtemos a solução usando o método de separação de variáveis
Referências
- ↑ a b Dantas, Edmundo Menezes Dantas (1970). Elementos de Equações Diferenciais 1 ed. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico S.A. p. 20
- ↑ Sotomayor, Jorge Sotomayor (1979). Lições de equações diferenciais ordinárias 1 ed. Rio de Janeiro: IMPA. p. 22