Redução de ordem

O método da redução de ordem é utilizado para se determinar a solução de uma equação diferencial ordinária e homogênea de segunda ordem.^[1]

Suponha que seja conhecida uma solução ${\displaystyle y_{1}(t)\,}$, não identicamente nula, de

${\displaystyle y''+p(t)y'+q(t)y=0\,}$. (1)

Para encontrar uma segunda solução, seja

${\displaystyle y=v(t)y_{1}(t)\,}$ (2)

então,

${\displaystyle y'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y'_{1}(t)\,}$

e

${\displaystyle y''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y'_{1}(t)+v(t)y''_{1}(t)\,}$

Substituindo essas expressões para ${\displaystyle y,y'}$ e ${\displaystyle y''}$ na equação (1) e unindo os termos, encontramos:

${\displaystyle y_{1}v''+(2y'_{1}+py_{1})v'+(y''_{1}+py'_{1}+qy_{1})v=0\,}$.

A equação acima é, de fato, uma equação de primeira ordem para a função ${\displaystyle v'}$ e pode ser resolvida como uma equação de primeira ordem ou como uma equação separável. Assim, uma vez encontrada ${\displaystyle v'}$, ${\displaystyle v}$ é obtida por integração.

Finalmente, a solução ${\displaystyle y}$ é determinada da equação (2). Este procedimento é chamado método da redução de ordem, já que o passo crucial é a resolução de uma equação diferencial de primeira ordem para ${\displaystyle v'}$ em vez da equação de segunda ordem original para ${\displaystyle y}$.^[2]

2× + y= 6

Dado que ${\displaystyle y_{1}(t)=t^{-1}\,}$ é uma solução de

${\displaystyle 2t^{2}y''+3ty'-y=0\,}$ (3)

${\displaystyle t>0}$,

encontrar uma segunda solução linearmente independente.^[3]

Vamos fazer ${\displaystyle y=v(t)t^{-1}\,}$, então:

${\displaystyle y'=v't^{-1}-vt^{-2}\,}$,

${\displaystyle y''=v''t^{-1}-2v't^{-2}+2vt^{-3}\,}$.

Substituindo ${\displaystyle y,y'}$ e ${\displaystyle y''}$ na equação (3) e unindo os termos, obtemos:

${\displaystyle 2t^{2}(v''t^{-1}-2v't^{-2}+2vt^{-3})+3t(v't^{-1}-vt^{-2})-vt^{-1}\,}$

${\displaystyle =2tv''+(-4+3)v'+(4t^{-1}-3t^{-1}-t^{-1})v\,}$

${\displaystyle =2tv''-v'\,}$

${\displaystyle =0}$ (4)

Note que o coeficiente de v é nulo, como deveria. Separando as variáveis na equação (4) e resolvendo para v'(t), encontramos:

${\displaystyle v'(t)=ct^{1/2}}$;

então,

${\displaystyle v(t)={\frac {2}{3}}ct^{3/2}+k}$.

Segue que

${\displaystyle y={\frac {2}{3}}ct^{1/2}+kt^{-1}}$,

onde c e k são constantes arbitrárias. A segunda parcela desta última equação é um múltiplo de ${\displaystyle y_{1}}$ e pode ser retirada, mas a primeira parcela nos dá uma solução nova independente. Desprezando a constante multiplicativa, temos:

${\displaystyle y_{2}=t^{1/2}}$.

Referências

• Método do fator integrante
• Equações separáveis
• Método da variação de parâmetros
• Equação diferencial exata
• Coeficientes a determinar
• Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)