Raiz da unidade
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Raízes cúbicas da unidade no plano complexo | Raízes quintas da unidade no plano complexo |
Em matemática, as raízes n-ésimas da unidade, ou números de de Moivre[1], são todos os números complexos que resultam 1 quando são elevados a n. Raízes da unidade são usadas em muitas áreas da matemática, sendo especialmente importantes para a teoria dos números, para a representação de caráter em teoria dos grupos, e para a transformada discreta de Fourier. Pode-se demonstrar que estão localizados no círculo unitário do plano complexo e que nesse plano formam os vértices de um polígono regular de n lados com um vértice sobre 1.
Uma raiz n-ésima da unidade é chamada de primitiva (ou seja, uma raiz primitiva n-ésima da unidade) quando ela não é também uma raiz m-ésima da unidade para m < n. Por exemplo, i é uma raiz quarta e raiz oitava da unidade, mas é apenas uma raiz quarta primitiva da unidade.
Definição
Diz-se que uma raiz n-ésima da unidade, onde n é um inteiro positivo (n = 1, 2, 3, …), é um número complexo z que satisfaça a equação
- ,
que, pelo teorema fundamental da álgebra, possui raízes no conjunto dos números complexos.[2]
Soluções
Uma das soluções sempre será o número , já que para qualquer inteiro positivo. As demais soluções podem ser obtidas reescrevendo o número de forma conveniente através da fórmula de Euler:
Substituindo-se , onde obtém-se:
Implicando que o número pode ser escrito da seguinte forma:
Resolve-se, então, a equação que define as raízes da unidade:
Então pode ser escrito como:
- ,
A princípio, tal expressão aponta para um número infinito de soluções. No entanto, dado a periodicidade das funções seno e cosseno, há mais de um associado a uma mesma raiz. De fato, há infinitos associados a um mesmo valor de que seja dado por um valor principal . A relação de congruência entre e é, por análise:
Desse modo, a solução resume-se a raízes para , dadas por:
Propriedades aritméticas
Soma das raízes
A soma das raízes da unidade é igual a , . Uma maneira de provar isso, é utilizando a soma de uma progressão geométrica.
Outra maneira de provar essa propriedade, é considerar as relações de Girard. Observando o polinômio , é fácil notar que a soma das raízes é igual a .
Produto das Raízes
Através das relações de Girard, pode-se deduzir que o produto das raízes é para ímpar e para par.
Equação Ciclotômica
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
Teorema de Gauss-Wantzel
Carl Friedrich Gauss demonstrou que o problema de resolver a equação , também denominada ciclotômica, pode ser reduzido a resolver uma série de equações quadráticas, para quando for um primo de Fermat, isto é, para quando for um primo e puder ser escrito como , onde . Pierre Laurent Wantzel provou posteriormente, em 1836, que tal condição não só é suficiente, mas necessária.[3]
O teorema de Gauss-Wantzel possui um importante valor histórico por promover uma ligação entre análise complexa e geometria euclidiana, visto que implica na especificação de quais polígonos são construtíveis a partir de régua e compasso, problema milenar enfrentado pelos matemáticos desde a Grécia antiga. Nesse contexto, ele prova que o polígono de 17 lados, o heptadecágono, é construtível pelo número de lados ser um primo de Fermat, contrastando com polígonos menores como o heptágono e o eneágono, que não são construtíveis.
Referências
Bibliografia
- Lang, Serge (2002). Algebra, 3rd revised edition. Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X.
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