Raiz cúbica
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Cube_root.png/300px-Cube_root.png)
Em ciências e matemática a raiz cúbica de um número (expressa como ou ), é o valor numérico tal que, ao ser multiplicado três vezes por si mesmo, dá como resultado Por exemplo, a raiz cúbica de 27 é 3, já que
Em geral, um número real possui três raízes cúbicas, uma correspondente a um número real, e as outras duas a números complexos. Assim, as raízes cúbicas de 8 são:
A operação de calcular a raiz cúbica de um número é uma operação associativa com a potenciação e distributiva com a multiplicação e divisão, mas não é associativa ou distributiva com a soma ou a subtração.
Definição formal
As raízes cúbicas de um número são números que satisfazem a equação
Números reais
Se x e y são reais, então existe uma única solução tal que a equação tem apenas uma única solução, e esta corresponde a um número real. Se é empregada esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é também um número negativo. Desta forma o princípio da raiz cúbica de x é representada igualmente por:
Se x e y são ambos complexos, então se pode dizer que possui três soluções (se x não é nulo) e assim x tem três raízes cúbicas: uma raiz real e duas complexas, na forma de par conjugado. Este facto deixa interessantes resultados dentro das matemática.
Por exemplo, as raízes do número 1 são:
Estas duas raízes se relacionam com todas as outras raízes cúbicas de outros números. Se um número é raiz cúbica de um número real as raízes cúbicas podem ser calculadas multiplicando o número pelas raízes da raiz cúbica de um.
Números complexos
Para os números complexos, o valor principal das raízes cúbicas se define como:
Onde ln(x) é o logaritmo natural. Se é escrito x como
Onde r é um número real positivo e cai no intervalo:
então a raiz cúbica é
Isto significa que em coordenadas polares ao tomar a raiz cúbica de um número complexo se está tomando a raiz cúbica do raio e o ângulo polar está sendo dividido em três partes de tal forma que define as três raízes. Com esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é um número complexo, e por exemplo não será -2, senão Naqueles programas que aceitam resultados imaginários (tais como Mathematica), o gráfico da raiz cúbica de x no plano dos números reais dará como resultados valores negativos da raiz por igual..
A raiz cúbica em uma calculadora de mão
Procedente da seguinte identidade:
Existe um método simples para poder calcular a raiz cúbica de um número em uma calculadora não-científica, o qual requer só as operações aritméticas de multiplicação e raiz quadrada. Não se requer além disso a memória. Se descreve a seguir:
- Pressiona-se o botão de raiz quadrada, duas vezes.
- Pressiona-se o botão de multiplicação.
- Pressiona-se o botão de raiz quadrada duas vezes.
- Pressiona-se o botão de multiplicação.
- Pressiona-se o botão de raiz quadrada quatro vezes.
- Pressiona-se o botão de multiplicação.
- Pressiona-se o botão de raiz quadrada oito vezes.
- Pressiona-se o botão de multiplicação...
O processo é continuado até que número que apareça no visor permaneça sem alterar-se, isto ocorre devido a que tem que aparecer 1 ou um número tal que 0,9999999... (isto significa que se tenha chegado ao limite da precisão da calculadora). Neste momento se pressiona o botão de raiz quadrada uma vez mais e o número que aparece no visor corresponderá a melhor aproximação que a calculadora pode proporcionar da raiz cúbica do número original. No método anterior se substitui a primeira multiplicação por uma divisão, sem modificar o restante do algoritmo, no lugar de averiguar a raiz cúbica se averigua a raiz quinta.
Cálculo manual da raiz cúbica
Igualmente como com as raízes quadradas, existe também uma operação que, ainda que muito pouco utilizada por haver métodos mais simples para resolvê-las, serve para obter o resultado da raiz cúbica de um número dado, a operação é a seguinte:
————————| 1331 |11 -1 |—————————————— —— |300·1²·3= 900 0331 | 30·1·3²= 270 -331 | 3³= 27 ———— | ———— 000 |1197|se passa de 331 | |300·1²·2= 600 | 30·1·2²= 120 | 2³= 8 | ———— |728|se passa de 331 | |300·1²·1= 300 | 30·1·1²= 30 | 1³= 1 | ——— | 331 |é igual ou menor |a 331
Explicação da operação:
- Separam-se os dígitos de 3 em 3 da direita para a esquerda à direita da vírgula se não tem decimais e se os tem então as cifras decimais são separadas de 3 em 3 da esquerda para a direita.
- Procura-se um número cujo cubo seja igual ou menor (se é menor sempre a cifra mais alta possível sem chegar a ultrapassá-lo) à primeira cifra ou conjunto de cifras que se encontram primeiro (à esquerda).
- À primeira cifra ou conjunto de cifras se lhe resta esse número cujo cubo é igual ou menor ao primeiro conjunto de cifras, e põe-se esse resultado baixando-se ao lado o seguinte grupo de três cifras.
Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raiz Cúbica
A raiz cúbica de um número complexo (com aproximadamente 6 casas decimais de precisão) pode ser calculada pela seguinte fórmula - descoberta por Ludenir Santos do estado de Rio Grande do Sul:
Onde:
para todo k complexo diferente de "0".
Observe que c, k, z são valores conhecidos.
c é o radicando, ou seja, o número para o qual desejamos saber a raiz cúbica;
k é a base do cubo perfeito mais próximo de c;
Da igualdade, tem-se:
Logo,
O valor de z deve ser o mais próximo possível de "1".
k não precisa ser, obrigatoriamente, um inteiro. A fim de tornar z mais próximo de "1" pode-se trabalhar com k racional.
Exemplos:
a)
Como então
Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:
Por tratar-se de raiz cúbica, existem mais duas raízes que iremos calcular através das seguintes fórmulas:
Portanto,
Estimando o valor de "k" para Reais
Separe os digitos do radicando em grupos de 3 digitos, do final para o início.
Encontre a raiz cúbica aproximada, apenas para o 1o grupo.
Para cada um dos demais grupos, adotar zero.
No exemplo podemos considerar
O "3" substitui o 1o grupo porque é a base do cubo perfeito mais próximo de "33", ou seja,
Um "0" para substituir o 2o grupo que, no caso, é "143"
Outro "0" para substituir o 3o grupo que, no caso, é "428".
Estimando o valor de "k" para Imaginários
Seja o complexo então ...
1) Sobre o valor absoluto de "k":
Somar os valores absolutos de e ou seja, nesta soma deve-se desconsiderar os sinais de e ..
A estimativa será a base do cubo perfeito mais proximo desta soma.
2) Sobre o sinal de "k":
O sinal de "k" é será igual ao sinal do maior termo do complexo ou seja, se |a| for maior que |b| então adotar o sinal de "a" senão adotar o sinal de "b".
b)
Estimando o valor de k ...
Valor:
Sinal:
Como |b|>|a| então k receberá o sinal de "b".
é positivo.
Como então
Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:
Como o valor de "k" foi estimado então precisamos reaplicar a fórmula:
então
Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:
Por tratar-se de raiz cúbica, existem mais duas raízes que iremos calcular através das seguintes fórmulas:
Portanto,