Em matemática, um problema de valor inicial ou problema de condições iniciais ou problema de Cauchy é uma equação diferencial que é acompanhada do valor da função objetivo em um determinado ponto, chamado de valor inicial ou condição inicial. Em física, biologia e outras áreas, a modelagem de um sistema frequentemente resulta em um problema de valor inicial (também chamado de P.V.I.) a ser solucionado; nesse contexto, a equação diferencial é uma equação evolutiva especificando como o sistema evoluirá ao longo do tempo dadas condições iniciais.
Definição
Um problema de valor inicial (P.V.I.) é uma equação diferencial da forma
Uma solução para um P.V.I. é uma função que é solução da equação diferencial e satisfaz .
Em dimensões superiores, a equação diferencial é substituída por uma família de equações , e é um vetor n-dimensional da forma . Mais geralmente, pode assumir valores em espaços de dimensão infinita, como o Espaço de Banach ou o espaço de distribuições.
P.V.I.s podem ser analisados em ordens superiores tratando as derivadas como uma função independente, e.g. .
Existência e unicidade de soluções
Para uma grande classe de P.V.I.s, a existência e unicidade de uma solução pode ser ilustrada através do uso de uma calculadora.
A prova desse teorema provem de uma reformulação do problema como uma equação integral equivalente. A integral pode ser considerada como um operador que transforma uma função em outra, de modo que a solução é um ponto fixo do operador. O teorema do ponto fixo de Banach é evocado para mostrar que existe um único ponto fixo que é solução do P.V.I..
Uma prova antiga do teorema de Picard–Lindelöf constrói uma sequência de funções que convergem para a solução da equação integral, e assim, para a solução do P.V.I.. Essa construção é chamada às vezes de "método de Picard" ou "método de aproximações sucessivas".
Hiroshi Okamura obteve uma condição necessária e suficiente para a solução do P.V.I. ser única. Essa condição tem a ver com a existência de uma função de Lyapunov para o sistema de EDOs.
Em algumas situações, a função f não é de classe C1, ou mesmo Lipschitz continua, então o resultado usual garantindo a existência local de uma solução única não se aplica. No entanto, o teorema de existência de Peano prova que mesmo para f meramente contínua, existem soluções locais; porém não há garantia de unicidade.[1][2]
O primeiro lado da equação pode ser simplificado usando a regra da cadeia
Integrando os dois lados da equação, obtém-se:
com constante.
Isolando y, obtém-se então infinitas soluções para a equação diferencial, por causa da arbitrariedade de :
Porém, só existe uma única solução que satisfaz as condições iniciais:
Portanto, a solução (única) do P.V.I. é:
Oscilador harmônico
No caso de um sistema massa-mola sem atrito e sem força externa atuando, ao aplicar-se a segunda lei de Newton, obtém-se a seguinte relação:
Ou seja:
Onde é a massa do oscilador, é o deslocamento dessa massa em relação ao ponto de equilíbrio e é a constante da mola.
Um dos métodos de se achar a solução dessa equação diferencial é usar transformada de Laplace. Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtém-se o seguinte:
↑Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Theory of ordinary differential equations. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company, Inc. (Teorema 1.3)
↑Robinson, James C. (2001). Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge: Cambridge University Press. (Teorema 2.6)