Na matemática, o primorial de um número natural n maior que 1 é denotado por
e é definido como o produto de todos os números primos menores ou iguais a n. O primorial de 1 é definido como sendo igual à unidade.
Exemplos
![{\displaystyle 1\#=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b831278dcf550a9220b2c37f38b2410115fe2c)
![{\displaystyle 2\#=2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32cb40e548b2a51a555d994a4f33557f00851698)
![{\displaystyle 3\#=2\cdot 3=6\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e1c50fb60ad8928d8729bea8cff81cd25f5402)
![{\displaystyle 4\#=2\cdot 3=6\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e3d2c3859dfa510861e4bac362f11f4c9959e6)
![{\displaystyle 5\#=2\cdot 3\cdot 5=30\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d10e30f5fb2dfa8a700f4fbe71a27b0497e91fc)
![{\displaystyle 6\#=2\cdot 3\cdot 5=30\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c06402baac8d97d964649d558b2cad66a5968d)
![{\displaystyle 7\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3144bbc77c36b4aa122b9c7b2d0073dd41f28e09)
Tabela de primoriais
Eis uma tabela de primoriais. Veja também (sequência A002110 na OEIS).
p | P(p) |
2 | 2 |
3 | 6 |
5 | 30 |
7 | 210 |
11 | 2310 |
13 | 30030 |
17 | 510510 |
19 | 9699690 |
23 | 223092870 |
29 | 6469693230 |
31 | 200560490130 |
37 | 7420738134810 |
41 | 304250263527210 |
43 | 13082761331670030 |
47 | 614889782588491410 |
53 | 32589158477190044730 |
59 | 1922760350154212639070 |
61 | 117288381359406970983270 |
67 | 7858321551080267055879090 |
71 | 557940830126698960967415390 |
73 | 40729680599249024150621323470 |
79 | 3217644767340672907899084554130 |
83 | 267064515689275851355624017992790 |
89 | 23768741896345550770650537601358310 |
Estimativa de crescimento para o primorial
Para todo
,
A demonstração se faz por indução matemática.
- Base:
![{\displaystyle 1\#=1<4^{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2283c621e7677406f018fdd48cb3d42fd41d236)
![{\displaystyle 2\#=2<4^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6072c557077c43dd1aff29db220bc4f206e8478)
- Indução
, n é par:
![{\displaystyle n\#=(n-1)\#<2^{n-1}<2^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334e79f6dfdc9b9f651ef7eb92d2d07d9016b9fb)
, n é ímpar, então escreve-se ![{\displaystyle n=2m+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c8d1af41c0b3949a2a931efcf87c057bf99c4f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}4^{m}&={\frac {1}{2}}(1+1)^{2m+1}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{2m+1}{\binom {2m+1}{k}}\\&>{\frac {1}{2}}{\Biggl (}{\binom {2m+1}{m}}+{\binom {2m+1}{m+1}}{\Biggr )}={\binom {2m+1}{m}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b0542eb6eaf1e51e6aa961fd2de30959999214)
Como cada número primo p,
é divisor de
, temos que:
![{\displaystyle \prod _{p>m+1}^{p\leq 2m+1}p\leq {\binom {2m+1}{m}}<4^{m}.\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281b14ecff91bd2ad7ad8444025cab74211ab543)
Agora, podemos estimar:
![{\displaystyle n\#=(2m+1)\#=(m+1)\#\prod _{p>m+1}^{p\leq 2m+1}p<4^{m+1}4^{m}=4^{2m+1}=4^{n}.\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e731d4319c1b151436b524ed46cabe67449eab)
E o resultado segue.
Ver também