Ponto de Apolônio
Na geometria do triângulo, o ponto de Apolônio é um ponto especial associado com um triângulo plano. O ponto é um centro de triângulo sendo designado como X(181) na Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) de Clark Kimberling. O centro de Apolônio é também relacionado com o problema de Apolônio, de Apolônio de Perga.
Na literatura, o termo "pontos de Apolônio" também tem sido usado para se referir aos pontos isodinâmicos de um triângulo.[1] Este uso também pode ser justificado com o fundamento de que os pontos isodinâmicos estão relacionados aos três círculos de Apolônio associados a um triângulo.
A solução do problema de Apolônio é conhecida há séculos. Mas o ponto de Apolônio foi observado pela primeira vez em 1987.[2][3]
Definição
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Apollonius_point.svg/280px-Apollonius_point.svg.png)
O ponto de Apolônio de um triângulo é definido como segue.
- Seja ABC um triângulo qualquer. Sejam os círculos exinscritos do triângulo ABC opostos aos vértices A, B e C serem EA, EB e EC, respectivamente. Seja E o círculo que toca os três excírculos EA, EB e EC, de modo que os três círculos estejam dentro de E. Sejam A' , B' e C' os pontos de contato do círculo E com os três excírculos. As linhas AA' , BB' e CC' são concorrentes. O ponto de concordância é o ponto de Apolônio do triângulo ABC.
O problema de Apolônio consiste em construir um círculo tangente a três círculos dados em um plano. Em geral, existem oito círculos tocando três círculos dados. O círculo E referido na definição acima é um desses oito círculos tocando os três excírculos do triângulo ABC. Na Encyclopedia of Triangle Centers, o círculo E é o chamado círculo de Apolônio do triângulo ABC.
Coordenadas trilineares
As coordenadas trilineares do ponto de Apolônio são[2]
Referências
- ↑ Katarzyna Wilczek (2010). «The harmonic center of a trilateral and the Apollonius point of a triangle». Journal of Mathematics and Applications. 32: 95–101
- ↑ a b Kimberling, Clark. «Apollonius Point». Consultado em 10 de maio de 2021. Cópia arquivada em 10 de maio de 2012
- ↑ C. Kimberling; Shiko Iwata; Hidetosi Fukagawa (1987). «Problem 1091 and Solution». Crux Mathematicorum. 13: 217–218
Ver também
- Apolônio de Perga (262 a.C. – 190 a.C.), geômetra e astrônomo
- Problema de Apolônio