Polinômio de Lommel

Um polinômio de Lommel Rm,ν(z), introduzido por Eugen von Lommel, é um polinômio em 1/z com a relação de recorrência

J m + ν ( z ) = J ν ( z ) R m , ν ( z ) − J ν − 1 ( z ) R m − 1 , ν + 1 ( z ) {\displaystyle \displaystyle J_{m+\nu }(z)=J_{\nu }(z)R_{m,\nu }(z)-J_{\nu -1}(z)R_{m-1,\nu +1}(z)}

sendo Jν(z) uma função de Bessel de primeira espécie.

São expressos explicitamente por

R m , ν = ∑ n = 0 [ m / 2 ] ( − 1 ) m ( m − n ) ! Γ ( ν + m − n ) n ! ( m − 2 n ) ! Γ ( ν + n ) ( z / 2 ) 2 n − m . {\displaystyle R_{m,\nu }=\sum _{n=0}^{[m/2]}{\frac {(-1)^{m}(m-n)!\Gamma (\nu +m-n)}{n!(m-2n)!\Gamma (\nu +n)}}(z/2)^{2n-m}.}

Bibliografia

  • Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953), Higher transcendental functions. Vol II, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, MR0058756 
  • Lommel, Eugen von (1871), «Zur Theorie der Bessel'schen Functionen», Berlin / Heidelberg: Springer, Mathematische Annalen, 4 (1): 103–116, doi:10.1007/BF01443302