Partição de um intervalo

Em matemática, uma partição de um intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, geralmente denotada ${\displaystyle P}$ ou ${\displaystyle \Pi }$, na reta real é uma sequência finita ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}}$ de números reais tal que:

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{k}=b.}$

Em outras palavras, uma partição de um intervalo compacto ${\displaystyle I}$ é uma sequência estritamente crescente de números (que pertence ela própria ao intervalo ${\displaystyle I}$) que começa no ponto inicial de ${\displaystyle I}$ e termina no ponto final de ${\displaystyle I}$.

Todo intervalo da forma ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ é referido como um subintervalo de partição ${\displaystyle x}$.

Estas partições são utilizadas na teoria da integral de Riemann e da integral de Riemann–Stieltjes.^[1]

Outra partição do intervalo dado, ${\displaystyle Q}$, é definida como um refinamento da partição, ${\displaystyle P}$, quando contém todos os pontos de ${\displaystyle P}$ e possivelmente alguns outros pontos também. A partição de ${\displaystyle Q}$ é considerada "mais fina" que ${\displaystyle P}$. Dadas duas partições, ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$, pode-se sempre formar seu refinamento comum, denotado ${\displaystyle P\lor Q}$, que consiste em todos os pontos de ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$, renumerados em ordem.^[2]

Um exemplo de partição é o seguinte:

Dado o intervalo ${\displaystyle [1,2]}$, uma partição de tal intervalo seria:

${\displaystyle \Pi =\{1,{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},2\}.}$

Outra possível partição para o mesmo intervalo seria:

${\displaystyle \Pi '=\{1,{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},2\}}$, com ${\displaystyle \Pi '}$ mais "fina" que ${\displaystyle \Pi }$.

A norma de uma partição

${\displaystyle x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}}$

é o comprimento do mais longo deste subintervalos

${\displaystyle \max\{(x_{i}-x_{i-1}):i=1,\ldots ,n\}.}$^[3][4]

Partições são usadas na teoria da integral de Riemann, da integral de Riemann–Stieltjes e da integral regulada. Especificamente, conforme partições mais finas de um intervalo são consideradas, sua norma se aproxima de zero e a soma de Riemann baseada em uma dada partição se aproxima da integral de Riemann.^[5]

Uma partição marcada é uma partição de um dado intervalo junto com uma sequência finita de números ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ sujeita às condições que, para cada ${\displaystyle i}$,

${\displaystyle x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}.}$

Em outras palavras, uma partição marcada é uma partição junto com um ponto distinguido de cada subintervalo. Sua norma é definida da mesma forma que uma partição comum. É possível definir uma ordem parcial no conjunto de todas as partições marcadas ao dizer que uma partição marcada é maior que a outra se a maior for um refinamento da menor.^[6]

Suponha que ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ junto com ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ é uma partição marcada de ${\displaystyle [a,b]}$ e que ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ junto com ${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ é outra partição marcada de ${\displaystyle [a,b]}$. Dizemos que ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ e ${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ juntos são um refinamento da partição marcada ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ junto com ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ se, para cada número inteiro ${\displaystyle i}$ com ${\displaystyle 0\leq 1\leq n}$, há um número inteiro ${\displaystyle r(i)}$ tal que ${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}$ e tal que ${\displaystyle t_{i}=s_{j}}$ para algum ${\displaystyle j}$ com ${\displaystyle r(i)\leq j\leq r(i+1)-1}$. Dito de forma mais simples, um refinamento de um partição marcada toma a partição inicial e adiciona mais marcas, mas não tira nenhuma.

• Integral de Riemann
• Integral de Riemann-Stieltjes
• Partição de um conjunto