Modelo XY

O modelo XY clássico (às vezes também chamado de modelo clássico de rotor ou modelo O(2)) é um modelo de rede diagonal de mecânica estatística. É o caso especial do modelo vetorial n para ${\displaystyle n=2}$.^[1][2]

Dada uma rede diagonal Λ dimensional-D, para cada sítio j ∈ Λ da rede existe um vetor de comprimento unitário bidimensional s_j = (cos θ_j, sin θ_j)

A configuração de rotação, s = (s_j)_{j ∈ Λ} é uma atribuição do ângulo −π < θ_j ≤ π para cada j ∈ Λ.

Dada uma tradução invariante da interação J_ij = J(i − j) e um campo externo dependente do ponto ${\displaystyle \mathbf {h} _{j}=(h_{j},0)}$, a energia de configuração é

${\displaystyle H(\mathbf {s} )=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-\sum _{j}\mathbf {h} _{j}\cdot \mathbf {s} _{j}=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\cos(\theta _{i}-\theta _{j})-\sum _{j}h_{j}\cos \theta _{j}}$

O caso em que J_ij = 0, exceto para o vizinho mais próximo ij, é chamado de "caso do vizinho mais próximo".

A probabilidade de configuração é dada pela distribuição de Boltzmann com temperatura inversa β ≥ 0:

${\displaystyle P(\mathbf {s} )={\frac {e^{-\beta H(\mathbf {s} )}}{Z}}\qquad Z=\int _{[-\pi ,\pi ]^{\Lambda }}\prod _{j\in \Lambda }d\theta _{j}\;e^{-\beta H(\mathbf {s} )}.}$

onde Z é a normalização ou função de partição.^[3] A notação ${\displaystyle \langle A(\mathbf {s} )\rangle }$ indica a expectativa da variável aleatória A(s) no limite de volume infinito, após as condições de fronteira periódicas terem sido impostas.

Referências

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