Medida Plancherel
Em matemática, a medida Plancherel é uma medida definida sobre o conjunto de representações irredutíveis unitárias de um grupo localmente compacto , que descreve como a representação regular se fragmenta em representações unitárias irredutíveis. Em alguns casos, o termo medida Plancherel é aplicado especificamente no contexto do grupo sendo o grupo simétrico finito . É nomeado em homenagem ao matemático Suíço Michel Plancherel por seu trabalho na representação teoria.
Definição para grupos finitos
Deixe ser um grupo finito, denotamos o conjunto de suas representações irredutíveis por . A correspondente medida Plancherel sobre o conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle G^\wedge} é definida por
onde e denota a dimensão da representação irredutível . [1]
Definição no grupo simétrico
Um importante caso especial é o caso do grupo simétrico (finito) , onde é um número inteiro positivo. Para este grupo, o conjunto de de representações irredutíveis é uma natural bijectivação com o conjunto de partições inteiras . Para uma representação irredutível associado a um número inteiro de partição , a sua dimensão é conhecida por ser igual a o número do padrão do Diagrama de Young de forma e , por isso, neste caso a medida Plancherel é muitas vezes considerada como uma medida sobre o conjunto de partições de inteiros de ordem n, dada por
- [2]
O fato de que as probabilidades somam até 1 resultam da combinatória de identidade
o que corresponde a natureza bijective da correspondência de Robinson–Schensted .
Grupos de Lie semi-simples
A medida Plancherel para os grupos de Lie semi-simples, foi encontrada por Harish-Chandra. O suporte é o conjunto de representações temperadas, e, em particular, nem todas as representações unitárias precisam ocorrer no suporte.
Referências
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