Matriz aleatória

Teoria das probabilidades
Axiomas de probabilidade
Espaço de probabilidade Espaço amostral Evento primário Evento Variável aleatória Medida de probabilidade
Evento complementar Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade conjunta Probabilidade marginal Probabilidade condicional
Independência Independência condicional Lei da probabilidade total Lei dos grandes números Teorema de Bayes Desigualdade de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de árvore
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Na teoria da probabilidade e na física matemática, uma matriz aleatória é uma variável aleatória com valor de matriz^[1] - isto é, uma matriz na qual alguns ou todos os elementos são variáveis aleatórias. Muitas propriedades importantes de sistemas físicos podem ser representadas matematicamente como problemas de matriz.^[2] Por exemplo, a condutividade térmica de uma rede pode ser calculada a partir da matriz dinâmica das interações partícula-partícula dentro da rede.^[3] A teoria da matriz aleatória foi iniciada por volta dos anos 1950.^[4]

Na física nuclear, matrizes aleatórias foram introduzidas por Eugene Wigner para modelar os núcleos de átomos pesados.^[5]

Em estatísticas multivariadas, matrizes aleatórias foram introduzidas por John Wishart^[6] para análise estatística de grandes amostras.^[7]

Na teoria dos números, a distribuição de zeros da função zeta de Riemann (e outras funções L) é modelada pela distribuição de autovalores de certas matrizes aleatórias.^[8]

No campo da neurociência teórica, matrizes aleatórias são cada vez mais usadas para modelar a rede de conexões sinápticas entre neurônios no cérebro.

Na teoria de controle ótimo, a evolução de n variáveis de estado ao longo do tempo depende, a qualquer momento, de seus próprios valores e dos valores de k variáveis de controle. Com a evolução linear, matrizes de coeficientes aparecem na equação de estado (equação de evolução).^[9]

As matrizes Wigner são matrizes Hermitianas aleatórias ${\displaystyle \textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}}$ de modo que as inscrições

${\displaystyle \left\{H_{n}(i,j)~,\,1\leq i\leq j\leq n\right\}}$

acima da diagonal principal estão variáveis aleatórias independentes com média zero e segundos momentos idênticos.

Conjuntos de matrizes invariantes são matrizes Hermitianas aleatórias com densidade no espaço de matrizes Hermitianas simétricas/Hermitianas/quaterniônicas reais, que tem a forma ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{Z_{n}}}e^{-n\mathrm {tr} V(H)}~,}$ onde a função V é chamada de potencial.

Os ensembles gaussianos são os únicos casos especiais comuns dessas duas classes de matrizes aleatórias.^[10][11]

Referências

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