Métrica induzida

Em matemática e física teórica, a métrica induzida é o tensor métrico definido em uma subvariedade^[1] que é calculada a partir do tensor métrico em uma maior variedade em que a subvariedade está incorporada.^[2] Ela pode ser calculada utilizando a seguinte fórmula (escrita usando a convenção somatória de Einstein):

${\displaystyle g_{ab}=\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }g_{\mu \nu }(X^{\alpha })\ }$

Nessa fórmula ${\displaystyle a,b\ }$ descrevem os índices de coordenadas ${\displaystyle \xi ^{a}\ }$ da subvariedade enquanto as funções ${\displaystyle X^{\mu }(\xi ^{a})\ }$ codificam a incorporação na variedade hiperdimensional cujos índices tangentes são denotadas ${\displaystyle \mu ,\nu \ }$.

Tome

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi \colon {\mathcal {C}}&\to \mathbb {R} ^{3}\\\tau &\mapsto \left\{\quad {\begin{matrix}x^{1}=(a+b\cos(n\cdot \tau ))\cos(m\cdot \tau )\\x^{2}=(a+b\cos(n\cdot \tau ))\sin(m\cdot \tau )\\x^{3}=b\sin(n\cdot \tau )\end{matrix}}\right.\end{aligned}}}$

sendo um mapa do domínio da curva ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ com parâmetro ${\displaystyle \tau }$ para a variável euclidiana ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Aqui ${\displaystyle a,b,m,n\in \mathbb {R} }$ são constantes.^[3]

Referências

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