Métrica (matemática)

Em Matemática, métrica é um conceito que generaliza a ideia geométrica de distância. Um conjunto em que há uma métrica definida recebe o nome de espaço métrico.

Dado um conjunto ${\displaystyle \mathbb {S} }$, uma métrica em ${\displaystyle \mathbb {S} }$ é uma função

${\displaystyle d:\mathbb {S} \times \mathbb {S} \to \mathbb {R} }$

que possui as seguintes propriedades:

• É positivamente definida, ou seja, é tal que

${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$

para todos os ${\displaystyle x,y\in \mathbb {S} }$.

• É simétrica, ou seja, é tal que

${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,}$

para todos os elementos ${\displaystyle x,y}$ de ${\displaystyle \mathbb {S} }$.

• Obedece a desigualdade triangular; para todos os ${\displaystyle x,y,z}$ elementos de ${\displaystyle \mathbb {S} }$, ${\displaystyle d}$ satisfaz

${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).}$

• É nula apenas para pontos coincidentes. Ou seja,

${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y.}$

No âmbito da relatividade, ao espaço-tempo está associada uma pseudométrica, já que para dois pontos diferentes o quadrado da "distância" (aqui entendida como o comprimento da geodésica entre dois pontos distintos) pode ser zero para pontos distintos e mesmo negativa.

No conjunto dos números reais, a métrica usual é dada por:

• ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|\,}$

No conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ várias métricas podem ser definidas, por exemplo:

• ${\displaystyle d(x,y)={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}}}$
• ${\displaystyle d(x,y)=max|x_{i}-y_{i}|\,}$

No conjunto das funções contínuas no intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, ${\displaystyle C^{0}[a,b]}$:

• ${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|}$
• ${\displaystyle d(f,g)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|}$

Em um conjunto ${\displaystyle \mathbb {S} }$ qualquer, a métrica discreta:

• ${\displaystyle d(x,y)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&x=y\\1,&x\neq y\end{array}}\right.}$

As bolas abertas de raio ${\displaystyle r}$ e centro ${\displaystyle x}$ em um espaço métrico ${\displaystyle \mathbb {S} }$ são denotadas por:

${\displaystyle B(x,r)=\left\{y\in \mathbb {S} :d(x,y)<r\right\}.}$

Analogamente, as bolas fechadas de raio ${\displaystyle r}$ e centro ${\displaystyle x}$ em um espaço métrico ${\displaystyle \mathbb {S} }$ são denotadas por:

${\displaystyle {\bar {B}}(x,r)=\left\{y\in \mathbb {S} :d(x,y)\leq r\right\}.}$

Seja ${\displaystyle \|.\|}$ uma norma em um espaço ${\displaystyle \mathbb {S} }$, então pode-se definir uma métrica neste espaço por:

${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$

Os axiomas da métrica serão automaticamente satisfeitos.

A todo espaço métrico está associado, de forma canônica, um espaço topológico. Este espaço pode ser definido de várias maneiras equivalentes.

Seja ${\displaystyle \tau _{d}\subset \wp (\mathbb {S} )}$ o conjunto

${\displaystyle \tau _{d}=\left\{A\subset \mathbb {S} \mid \forall x\in A,\,\exists r>0{\text{ tal que }}B(x,r)\subset A\right\}.}$

Em outras palavras, todo elemento A de tau_d é um subconjunto de S em que cada elemento ${\displaystyle x\in A\,}$ é também elemento de uma bola aberta B que é subconjunto de A: ${\displaystyle x\in B\subseteq A\subseteq S\,}$.

Verifica-se facilmente que ${\displaystyle \tau _{d}}$ é uma topologia sobre ${\displaystyle \mathbb {S} }$. Essa é a topologia induzida por ${\displaystyle d}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {S} }$.

Note que o conjunto de todas as bolas abertas de ${\displaystyle \mathbb {S} }$ forma uma base para a topologia ${\displaystyle \tau _{d}}$.

Por exemplo, a métrica discreta induz a topologia discreta.

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em uma bola de raio finito.

Uma seqüência ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ é dita convergente para uma ponto ${\displaystyle x}$ se:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(x_{n},x)=0}$

Uma seqüência é dita de Cauchy se:

${\displaystyle \lim _{n,m\to \infty }d(x_{n},x_{m})=0}$

Um espaço métrico é dito completo se toda seqüência de Cauchy é convergente.

Todo espaço métrico admite um completamento, veja espaço completo.

Dadas as métricas ${\displaystyle d_{1}}$e ${\displaystyle d_{2}}$no mesmo conjunto ${\displaystyle M}$, escreveremos, por simplicidade, ${\displaystyle M_{1}=(M,d_{1})}$, ${\displaystyle M_{2}=(M,d_{2})}$, ${\displaystyle B_{1}(a;r)}$igual a bola de centro a e raio r segundo a métrica ${\displaystyle d_{1}}$. Usaremos os índices 1 e 2 para distinguir objetos definidos com auxílio das métricas ${\displaystyle d_{1}}$ou ${\displaystyle d_{2}}$respectivamente.

Consideremos que ${\displaystyle d_{1}}$é mais fina que ${\displaystyle d_{2}}$, e escreveremos ${\displaystyle d_{1}\prec d_{2}}$, quando a aplicação identidade ${\displaystyle i_{12}:M_{1}\rightarrow M_{2}}$ for contínua. Como ${\displaystyle i_{12}(x)=x}$para todo ${\displaystyle x\in M}$, a definição de continuidade apresenta a seguinte condição necessária e suficiente para que ${\displaystyle d_{1}}$seja mais fina que ${\displaystyle d_{2}}$: para todo ${\displaystyle a\in M}$e todo ${\displaystyle \epsilon >0}$, existe ${\displaystyle \delta >0}$tal que ${\displaystyle B_{1}(a;\delta )\subset {\displaystyle B_{2}(a;\epsilon )}}$. Ou seja, ${\displaystyle d_{1}\prec d_{2}\Leftrightarrow toda\;bola\;aberta\;segundo\;d_{2}\;contem\;uma\;bola\;aberta\;de\;mesmo\;centro\;segundo\;d_{1}.}$

Exemplos:

• Seja ${\displaystyle d_{1}}$uma métrica discreta. Se o espaço métrico ${\displaystyle (M,d_{1})}$é discreto, então ${\displaystyle d_{1}}$é mais fina do que qualquer outra métrica discreta ${\displaystyle d_{2}}$em ${\displaystyle M}$. Por outro lado, se ${\displaystyle d_{2}}$for mais fina do que a métrica discreta ${\displaystyle d_{1}}$então, para todo ${\displaystyle a\in M}$, existe uma bola ${\displaystyle {\displaystyle B_{2}(a;\delta )}}$contida na bola ${\displaystyle \{a\}=B_{1}(a;\epsilon )}$. Logo ${\displaystyle {\displaystyle B_{2}(a;\delta )}=\{a\}}$e portanto ${\displaystyle d_{2}}$também é discreta.
• Se existir uma constante ${\displaystyle c>0}$tal que ${\displaystyle d_{2}(x,y)\leq c.d_{1}(x,y)}$para quaisquer ${\displaystyle x,y\in M}$, então ${\displaystyle d_{1}}$mais fina do que ${\displaystyle d_{2}}$.

---Proposição: Sejam ${\displaystyle M_{1}=(M,d_{1})}$ e ${\displaystyle M_{2}=(M,d_{2})}$ espaços métricos sobre o mesmo conjunto ${\displaystyle M}$. As seguintes afirmações são equivalentes:

1. ${\displaystyle d_{1}\prec d_{2}}$, quando a aplicação identidade ${\displaystyle i_{12}:M_{1}\rightarrow M_{2}}$ for contínua;
2. Para todo espaço métrico ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle f:M_{2}\rightarrow N}$contínua ${\displaystyle \Rightarrow {\displaystyle f:M_{1}\rightarrow N}}$contínua, ou seja, toda aplicação contínua segundo ${\displaystyle d_{2}}$é contínua segundo ${\displaystyle d_{1}}$;
3. Se ${\displaystyle f:M_{2}\rightarrow \mathbb {R} }$é contínua então ${\displaystyle f:M_{1}\rightarrow \mathbb {R} }$é contínua;
4. Para todo ${\displaystyle a\in M}$, a função ${\displaystyle d_{2a}:M_{1}\rightarrow \mathbb {R} }$, definida por ${\displaystyle d_{2a}(x)=d_{2}(a,x)}$é contínua no ponto ${\displaystyle a\in M}$;
5. Toda bola aberta segundo ${\displaystyle d_{2}}$contém uma bola aberta de mesmo centro segundo ${\displaystyle d_{1}}$;
6. A função ${\displaystyle d_{2}:M_{1}}$x ${\displaystyle M_{1}\rightarrow \mathbb {R} }$ é contínua.

---Proposição: A aplicação injetiva ${\displaystyle f:(M,d_{M})\rightarrow (N,d_{N})}$é contínua se, e somente se, a métrica ${\displaystyle d_{M}}$é mais fina do que a métrica ${\displaystyle d_{1}}$, induzida em ${\displaystyle M}$ por ${\displaystyle f}$.

Exemplos:

• Como ${\displaystyle f:(0,2\pi )\rightarrow S^{1}}$, dada por ${\displaystyle f(t)=(cos(t),sen(t))}$, é uma bijeção contínua, segue- se que a métrica ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$em ${\displaystyle [0,2\pi )}$é mais fina do que a métrica ${\displaystyle d_{1}(x,y)={\sqrt {(cosx-cosy)^{2}+(senx-seny)^{2}}}}$, induzida por ${\displaystyle f}$.

---Definição: Duas métricas ${\displaystyle d_{1}}$e ${\displaystyle d_{2}}$num espaço ${\displaystyle M}$chamam- se ${\displaystyle equivalentes}$quando cada uma delas é mais fina do que a outra, isto é, quando a aplicação identidade ${\displaystyle i_{12}:(M,d_{1})\rightarrow (M,d_{2})}$é homeomorfismo. Denotamos por ${\displaystyle d_{1}\sim d_{2}}$. A relação ${\displaystyle d_{1}\sim d_{2}}$é reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo: Duas métricas discretas no mesmo espaço são sempre equivalentes. Se ${\displaystyle d_{1}\sim d_{2}}$e ${\displaystyle d_{1}}$é discreta, então ${\displaystyle d_{2}}$é discreta.

---Definição: A fim de que se tenha ${\displaystyle d_{1}\sim d_{2}}$ em ${\displaystyle M}$, é necessário e suficiente que qualquer bola aberta em relação a uma dessas métricas contenha uma bola aberta de mesmo centro em relação à outra.

Exemplos:

• As métricas ${\displaystyle d,d'\;e\;d''}$no plano ${\displaystyle \mathbb {R^{2}} }$são equivalentes, pois todo disco contém um quadrado com diagonais paralelas aos eixos, o qual contém um quadrado de lados paralelos aos eixos e este, por sua vez, contém um disco, todas essas figuras com o mesmo centro.
• Se existirem constantes ${\displaystyle \alpha >0\;e\;\beta >0}$tais que ${\displaystyle \alpha .d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq \beta .d_{1}(x,y)}$para quaisquer ${\displaystyle x,y\in M}$, então as métricas ${\displaystyle d_{1}}$e ${\displaystyle d_{2}}$são equivalentes pois a aplicação identidade ${\displaystyle i_{12}:(M,d_{1})\rightarrow (M,d_{2})}$e sua inversa ${\displaystyle i_{21}:(M,d_{2})\rightarrow (M,d_{1})}$são, neste caso, ambas lipschitzianas. Assim, por exemplo, no produto cartesiano ${\displaystyle M=M_{1}}$x ... x ${\displaystyle M_{n}}$, as métricas ${\displaystyle d,d'\;e\;d''}$são equivalentes, pois cumprem ${\displaystyle d''\leq d\leq d'\leq n.d''}$. Em particular, no espaço ${\displaystyle \mathbb {R^{n}} }$, as métricas ${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {\sum (x_{i}-y_{i})^{2}}}}$, ${\displaystyle d'(x,y)=\sum |x_{i}-y_{i}|}$e ${\displaystyle d''(x,y)=max|x_{i}-y_{i}|}$são equivalentes.
• Seja ${\displaystyle d'}$uma métrica em ${\displaystyle M}$. Pondo ${\displaystyle d_{1}(x,y)=d(x,y)/[1+d(x,y)]}$e ${\displaystyle d_{2}(x,y)=min\{1,d(x,y)\}}$obtêm- se métricas em ${\displaystyle M}$. Afirmamos que ${\displaystyle d_{1}}$e ${\displaystyle d_{2}}$são ambas equivalentes a ${\displaystyle d.}$Em particular, vemos que toda métrica é equivalente a alguma métrica limitada, pois ${\displaystyle d_{1}(x,y)\leq 1}$e ${\displaystyle d_{2}(x,y)\leq 1}$.

---Proposição: A bijeção ${\displaystyle f:(M,d_{M})\rightarrow (N,d_{N})}$é um homeomorfismo se, e somente se, a métrica ${\displaystyle d_{M}}$é equivalente à métrica ${\displaystyle d_{1}}$, induzida em ${\displaystyle M}$por ${\displaystyle f}$.

---Corolário: A aplicação ${\displaystyle f:(M,d_{1})\rightarrow (M,d_{2})}$é contínua se, e somente se , a métrica ${\displaystyle d_{f}:M}$ x ${\displaystyle M\rightarrow \mathbb {R} }$, definida por ${\displaystyle d_{f}(x,y)=d(x,y)+d_{1}(f(x),f(y))}$é equivalente a ${\displaystyle d}$. Em particular, se ${\displaystyle f:(M,d)\rightarrow \mathbb {R} }$é contínua, então a métrica ${\displaystyle d_{f}(x,y)=d(x,y)+|f(x)-f(y)|}$é equivalente a ${\displaystyle d.}$

---Proposição: Sejam ${\displaystyle M_{1}=(M,d_{1})}$ e ${\displaystyle M_{2}=(M,d_{2})}$. As seguintes afirmações são equivalentes:

1. ${\displaystyle d_{1}\sim d_{2}}$.
2. Uma aplicação ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$é contínua segundo ${\displaystyle d_{1}}$se, e somente se , é contínua segundo ${\displaystyle d_{2}}$.
3. Uma função real ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$é contínua segundo ${\displaystyle d_{1}}$se, e somente se , é contínua segundo ${\displaystyle d_{2}}$.
4. Para todo ${\displaystyle a\in M}$, as funções ${\displaystyle d_{1a}:M_{2}\rightarrow \mathbb {R} \;e\;d_{2a}:M_{1}\rightarrow \mathbb {R} }$, dadas por ${\displaystyle d_{1a}(x)=d_{1}(a,x)\;e\;d_{2a}(x)=d_{2}(a,x)}$, são contínuas no ponto ${\displaystyle a.}$
5. Toda bola aberta segundo uma dessas métricas contém uma bola aberta de mesmo centro segundo a outra.
6. As funções ${\displaystyle d_{1}:M_{2}}$x ${\displaystyle M_{2}\rightarrow \mathbb {R} }$e ${\displaystyle d_{2}:M_{1}}$x ${\displaystyle M_{1}\rightarrow \mathbb {R} }$são contínuas.
   

Em tese:

• Duas métricas, ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$, sobre o mesmo espaço métrico são ditas equivalentes se induzirem a mesma topologia.
• Duas métricas, ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$, sobre o mesmo espaço métrico são ditas uniformemente equivalentes se existirem duas constantes positivas, ${\displaystyle C_{1}}$ e ${\displaystyle C_{2}}$ tais que:

${\displaystyle C_{1}d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq C_{2}d_{1}(x,y)}$

Obs.: Métricas uniformemente equivalentes são equivalentes.

• Lima, Elon Lages (2017). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed., 3ª impressão. [S.l.]: IMPA. 336 páginas

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