Método do fator integrante
As equações diferenciais lineares de primeira ordem possuem muitas aplicações e é uma das primeiras classes de equações abordadas nos cursos de EDO. A forma mais geral de uma equação diferencial ordinária, linear e de primeira ordem é , onde e são funções contínuas em um intervalo I.[1]
Observação: Quando q(x)=0 para todo ∈I a equação é dita Equação Homogênea.
O Fator Integrante é uma função tal que o produto da EDO por ela faz com que o lado esquerdo da equação possa ser visto como a derivada do produto de duas funções, a saber e o fator integrante, isto é, o Método do Fator Integrante para resolução de EDO lineares de primeira ordem consiste em supor que exista uma função u(x) tal que,
e além disso
Daí, sendo y≠0 e u(x)≠0, temos que:
- ⇒
Logo,
Note que,
Daí,
- ⇒, onde C=0.
Portanto,
Lembrando que:
Então,
E finalmente obtemos:
Onde o valor de já foi deduzido.Esta última expressão é chamada solução geral da EDO.[2]
Referências
- ↑ E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 18. ISBN 978-85-216-1499-9 A referência emprega parâmetros obsoletos
|coautor=
(ajuda) - ↑ G. LIMA, H. Equações Diferenciais Lineares. Pombal/PB: [s.n.] p. 13 Texto "Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar" ignorado (ajuda)
Ver também
- Equações separáveis
- Método da variação de parâmetros
- Equação diferencial exata
- Redução de ordem
- Coeficientes a determinar
- Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)