Método do fator integrante

As equações diferenciais lineares de primeira ordem possuem muitas aplicações e é uma das primeiras classes de equações abordadas nos cursos de EDO. A forma mais geral de uma equação diferencial ordinária, linear e de primeira ordem é ${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$, onde ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ são funções contínuas em um intervalo I.^[1]

Observação: Quando q(x)=0 para todo ${\displaystyle x}$∈I a equação é dita Equação Homogênea.

O Fator Integrante é uma função tal que o produto da EDO por ela faz com que o lado esquerdo da equação possa ser visto como a derivada do produto de duas funções, a saber ${\displaystyle y}$ e o fator integrante, isto é, o Método do Fator Integrante para resolução de EDO lineares de primeira ordem consiste em supor que exista uma função u(x) tal que,

${\displaystyle u(x)y'+u(x)p(x)y=u(x)q(x)}$

e além disso

${\displaystyle u(x)y'+u(x)p(x)y={\frac {d}{dx}}(u(x)y)}$

Daí, sendo y≠0 e u(x)≠0, temos que:

${\displaystyle u(x)y'+u(x)p(x)y=u(x)y'+u'(x)y}$ ⇒ ${\displaystyle u(x)p(x)=u'(x)}$

Logo,

${\displaystyle {\frac {u'(x)}{u(x)}}=p(x)}$

Note que,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\ln {u(x)})={\frac {u'(x)}{u(x)}}}$

Daí,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\ln {u(x)})=p(x)}$⇒${\displaystyle \ln {u(x)}=\int p(x)dx+C}$, onde C=0.

Portanto, ${\displaystyle u(x)=e^{\int p(x)dx}}$

Lembrando que:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u(x)y)=u(x)q(x)}$

Então,

${\displaystyle u(x)y=\int u(x)q(x)dx}$

E finalmente obtemos:

${\displaystyle y={\frac {\int u(x)q(x)dx+C}{u(x)}}}$

Onde o valor de ${\displaystyle u(x)}$ já foi deduzido.Esta última expressão é chamada solução geral da EDO.^[2]

Referências

• Equações separáveis
• Método da variação de parâmetros
• Equação diferencial exata
• Redução de ordem
• Coeficientes a determinar
• Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)