Método de Wiener–Hopf
O Método de Wiener–Hopf é uma técnica amplamente utilizada em matemática aplicada. Foi desenvolvido inicialmente por Norbert Wiener e Eberhard Hopf como um método para resolver sistemas de equações integrais, porém foi aplicado com sucesso para resolver equações diferenciais parciais bidimensionais com condições de contorno mistas sobre o mesmo contorno. Em geral, o método explora as propriedades de funções complexas mediante transformação. A transformação típica utilizada é a transformada de Fourier, porém outras transformações já foram empregadas, como a transformada de Mellin.
Em geral, o problema de valores sobre o contorno é transformado, e o sistema resultante é usado para definir um par de funções complexas (tipicamente denotado com subscritos '+' e '-'), que são respectivamente analíticas nas metades superior e inferior do plano complexo, com crescimento não mais rápido que polinômios nestas regiões. Estas duas funções coincidem em alguma região do plano complexo, tipicamente uma tira estreita contendo o eixo real. A extensão analítica garante que estas duas funções definem uma função analítica simples em todo o plano complexo, e o Teorema de Liouville implica que esta função é um polinômio incógnito, que é normalmente zero ou constante. A análise das condições nas bordas e vértices possibilita determinar o grau deste polinômio.
Decomposição de Wiener–Hopf
O ponto crucial em muitos problemas de Wiener-Hopf é decompor uma função arbitrária em duas funções com as propriedades acima delineadas. Em geral, isto pode ser feito escrevendo
e
onde os contornos e são paralelos ao eixo real, mas passam acima e abaixo do ponto , respectivamente.
Similarmente, funções escalares arbitrárias podem ser decompostas em um produto de funções +/-, isto é, , primeiramente tomando o logarítmo, e então procedendo a decomposição de soma. Decomposição de produtos de funções matriciais (que ocorrem em sistemas multi-modais acoplados tal como em ondas elásticas) são mais problemáticos, pois o logarítmo não é bem definido, e qualquer decomposição pode ser não-comutativa. Uma pequena subclasse de decomposições comutativas foi obtida por Khrapkov, e vários métodos aproximados foram também desenvolvidos.
Exemplo
Consideremos a equação diferencial parcial linear
onde é um operador linear que contém derivadas em relação a e , sujeita a condições mistas sobre , para uma função prescrita ,
- para quando ,
decaindo no infinito, isto é, com . Aplicando a transformada de Fourier em relação a x, resulta na seguinte equação diferencial ordinária
onde é um operador linear contendo somente derivadas em , é uma função de e conhecida e
Se uma solução particular desta equação diferencial ordinária que satisfaz o decaimento necessário no infinito é denotada por , uma solução geral pode ser expressa como
sendo uma função incógnita a ser determinada pelas condições de contorno sobre .
O ponto crucial é decompor em duas funções e , analíticas nos semi-planos superior e inferior do plano complexo, respectivamente
As condições de contorno fornecem então
e, com derivadas parciais em relação a ,
Eliminando resulta
com
Agora como o produto das funções e , que são analíticas nos semi-planos superior e inferior, respectivamente, ou seja, onde
Consequentemente,
onde foi assumido que pode ser decomposta na soma de duas funções e , que são analíticas nos semi-planos superior e inferior, respectivamente. Agora, como o lado esquerdo da equação acima é analítico no semi-plano inferior, enquanto o lado direito é analítico no semi-plano superior, a continuação analítica garante a existência de uma função em todo o plano, que coincide com o lado esquerdo ou com o lado direito em seus respectivos semi-planos. Além disso, como pode ser mostrado que as funções em cada um dos lados da equação acima decaem para grandes valores de , a aplicação do teorema de Liouville mostra que esta única função é identicamente zero, e portanto,
e assim
Ver também
- Filtro de Wiener
Ligações externas
- «O Método de Wiener-Hopf, por Michiel Hazewinkel» (em inglês)
- «O Método de Wiener-Hopf, no Wikiwaves» (em inglês)