Lógica de Łukasiewicz

Em matemática, a lógica de Łukasiewicz (em inglês:/luːkəˈʃɛvɪtʃ/; em polonês: /wukaˈɕɛvʲitʂ/), é uma lógica não-clássica multivalorada. Foi definida por Jan Łukasiewicz como uma lógica trivaluada.^[1] Posteriormente, foi generalizada para n valores (com n finito), bem como para infinitamente valorada (ℵ₀-valorada), ambas proposicionais e de primeira ordem. A versão ℵ₀-valorada foi publicada em 1930 por Łukasiewicz e Alfred Tarski, ficando conhecida como lógica de Łukasiewicz-Tarski.

Os conectivos proposicionais da lógica de Łukasiewicz são:

• implicação ${\displaystyle \rightarrow }$,
• negação ${\displaystyle \neg }$,
• equivalência ${\displaystyle \leftrightarrow }$,
• conjunção fraca ${\displaystyle \wedge }$,
• conjunção forte ${\displaystyle \otimes }$,
• disjunção fraca ${\displaystyle \vee }$,
• disjunção forte ${\displaystyle \oplus }$,

e constantes proposicionais ${\displaystyle {\overline {0}}}$ e ${\displaystyle {\overline {1}}}$. A presença de conjunções e disjunções é comum em subestruturas lógicas que não possuem a regra de contração, da qual a lógica de Łukasiewicz faz parte.

A axiomática original para sistemas proposicionais infinitamente-valorados da lógica de Łukasiewicz utiliza a implicação e a negação como conectivos primitivos:

${\displaystyle A\rightarrow (B\rightarrow A)}$

${\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))}$

${\displaystyle ((A\rightarrow B)\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow A)\rightarrow A)}$

${\displaystyle (\neg B\rightarrow \neg A)\rightarrow (A\rightarrow B).}$

A lógica proposicional multivalorada de Łukasiewicz também pode ser axiomatizada pela adição dos seguintes axiomas ao sistema axiomático de um lógica monoidal de norma T:

• Divisibilidade: ${\displaystyle (A\wedge B)\rightarrow (A\otimes (A\rightarrow B))}$
• Negação dupla: ${\displaystyle \neg \neg A\rightarrow A.}$

Para uma lógica de Łukasiewicz finitamente valorada, são necessários outros axiomas.

A lógica de Łukasiewicz é uma lógica de real-valor das quais as sentenças podem assumir um valor verdadeiro e não apenas um ou zero mas qualquer número real no intervalo (por exemplo 0,25). As valorações têm um definição recursiva:

• ${\displaystyle w(\theta \circ \phi )=F_{\circ }(w(\theta ),w(\phi ))}$ para um conector binário ${\displaystyle \circ ,}$
• ${\displaystyle w(\neg \theta )=F_{\neg }(w(\theta )),}$
• ${\displaystyle w({\overline {0}})=0}$ e ${\displaystyle w({\overline {1}})=1,}$

onde as definições dos operadores são as seguintes:

• Implicação: ${\displaystyle F_{\rightarrow }(x,y)=\min\{1,1-x+y\}}$
• Equivalência: ${\displaystyle F_{\leftrightarrow }(x,y)=1-|x-y|}$
• Negação: ${\displaystyle F_{\neg }(x)=1-x}$
• Conjunção fraca: ${\displaystyle F_{\wedge }(x,y)=\min\{x,y\}}$
• Disjunção fraca: ${\displaystyle F_{\vee }(x,y)=\max\{x,y\}}$
• Conjunção forte: ${\displaystyle F(x,y)=\max\{0,x+y-1\}}$
• Disjunção forte: ${\displaystyle F(x,y)=\min\{1,x+y\}.}$

A função verdade ${\displaystyle F\otimes }$ da conjunção forte é a norma-T de Łukasiewicz e a função verdade ${\displaystyle F\oplus }$ da disjunção forte é seu dual conomra-T. A função verdade ${\displaystyle F_{\rightarrow }}$ é o resíduo da norma-T de Łukasiewicz. Todas as funções verdade baseadas em conectivos são contínuas.

Por definição, a fórmula é uma tautologia lógica de Łukasiewicz infinitamente valorada se ela vale 1 sob qualquer variação das variáveis proposicionais por um número real no intervalo [0, 1].

Usando exatamente as mesmas fórmulas de valoração para uma semântica de valores reais, está definida a menos de isomorfismo:

• Qualquer conjunto finito de cardinalidade n ≥ 2 escolhendo como domínio { 0, 1/(n − 1), 2/(n − 1), ..., 1 }
• Qualquer conjunto enumerável escolhendo o conjunto como { p/q | 0 ≤ p ≤ q onde p é um inteiro não-negativo e q é um inteiro positivo }.

Referências

• Paradoxo de Tarski-Seidenberg
• Lógica difusa

• Portal da matemática

• Portal da lógica