Isomorfismo musical

Em matemática, o isomorfismo musical (ou isomorfismo canônico) é um isomorfismo entre o fibrado tangente TM e o fibrado cotangente T^∗M e uma variedade de Riemann dada por sua métrica. Existem isomorfismos similares em variedades simpléticas. O termo musical refere-se ao uso dos símbolos ${\displaystyle \flat }$ e ${\displaystyle \sharp }$.^[1][2]

Uma métrica g em uma variedade Riemanniana M é um campo tensorial ${\displaystyle g\in {\mathcal {T}}_{2}(M)}$ que é simétrico, não degenerado e positivo-definido. Ao fixar-se um dos dois parâmetros como um vetor ${\displaystyle v_{p}\in T_{p}M}$, se obtém um isomorfismo de espaços vectoriais:

${\displaystyle {\hat {g}}_{p}:T_{p}M\longrightarrow T_{p}^{*}M}$

definido por:

${\displaystyle {\hat {g}}_{p}(v_{p})=g(v_{p},-)}$

ou seja,

${\displaystyle \langle {\hat {g}}_{p}(v_{p}),\omega _{p}\rangle =g_{p}(v_{p},\omega _{p})}$

Globalmente,

${\displaystyle {\hat {g}}:TM\longrightarrow T^{*}M}$

é um difeomorfismo.

O isomorfismo ${\displaystyle {\hat {g}}}$ e seu inverso ${\displaystyle {\hat {g}}^{-1}}$ se denominam isomorfismos musicais porque sobem a baixam os índices dos vetores. Por exemplo, um vetor de TM é escrito como ${\displaystyle \alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ e um covetor como ${\displaystyle \alpha _{i}dx^{i}}$, assim que o índice i sobe e baixa em ${\displaystyle \alpha }$ do mesmo modo que os símbolos sustenido (${\displaystyle \sharp }$) e bemol (${\displaystyle \flat }$) sobem e baixam um semitom.

Os isomorfismos musicais podem ser usados para definir o gradiente de uma função diferenciável sobre uma variedade riemanniana M como:

${\displaystyle \nabla f=\mathrm {grad} \;f={\hat {g}}^{-1}\circ df=(df)^{\sharp }}$

• Elevação e abaixamento de índices em tensores

Referências