Hipotrocoide

A hipotrocoide é uma rolete traçada por um ponto fixo de um círculo de raio r que rola dentro de um círculo de raio R fixo, onde o ponto está a uma distância d do centro ao círculo interno.

A curva vermelha é uma hipotrocoide desenhada pelo pequenino ponto preto que rola dentro do grande círculo azul (as medidas são R = 5, r = 3, d = 5).

As equações paramétricas para a hipotrocoide são:

x ( θ ) = ( R − r ) cos ⁡ θ + d cos ⁡ ( R − r r θ ) , {\displaystyle x(\theta )=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right),}
y ( θ ) = ( R − r ) sin ⁡ θ − d sin ⁡ ( R − r r θ ) . {\displaystyle y(\theta )=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right).}

A equação polar para a hipotrocoide é:

r ( θ ) 2 = ( R − r ) 2 + 2 d ( R − r ) cos ⁡ ( R r θ ) + d 2 , {\displaystyle r(\theta )^{2}=(R-r)^{2}+2d(R-r)\cos \left({R \over r}\theta \right)+d^{2},}

Casos especiais de hipotrocoides incluem a hipocicloide com d = r e a elipse com R = 2r.

A elipse (em vermelho) pode ser expressa como um tipo especial de hipotrocoide, com R = 2r. Nesta imagem, R = 10, r = 5 e d = 1.

O brinquedo clássico espirógrafo produz as curvas hipotrocoide e epitrocoide.

Ver também

Referências

  • Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Hypotrochoid», especificamente desta versão.
  • J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. [S.l.]: Dover Publications. pp. 165–168. ISBN 0-486-60288-5 

Ligações externas

  • Flash Animation of Hypocycloid
  • Hypotrochoid from Visual Dictionary of Special Plane Curves, Xah Lee.
  • [1] geogebra representation
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