Grupo de Prüfer

Em matemática, especificamente na teoria de grupos, para cada número primo p, o p-grupo de Prüfer Z(p∞), também conhecido como p-grupo quase cíclico ou p∞-grupo, é o único subgrupo de torção em que todo elemento tem p raízes p-ésimas

  • O p-grupo de Prüfer pode ser representado como um subgrupo do grupo circular U(1), como sendo o conjunto das raízes pn-ésimas da unidade com n variando sobre todos os inteiros não negativos:
Z ( p ∞ ) = { exp ⁡ ( 2 π i n / p m ) ∣ n ∈ Z + , m ∈ Z + } {\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\{\exp(2\pi in/p^{m})\mid n\in \mathbf {Z} ^{+},\,m\in \mathbf {Z} ^{+}\}\;}
  • Alternativamente, o p-grupo de Prüfer pode ser visto como o p-subgrupo de Sylow de Q/Z consistindo daqueles elementos cuja ordem é uma potência de um primo p:
Z ( p ∞ ) = Z [ 1 / p ] / Z {\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\mathbf {Z} [1/p]/\mathbf {Z} }
  • Há uma presentação (escrita aditivamente)
Z ( p ∞ ) = ⟨ x 1 , x 2 , . . . | p x 1 = 0 , p x 2 = x 1 , p x 3 = x 2 , . . . ⟩ {\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\langle x_{1},x_{2},...|px_{1}=0,px_{2}=x_{1},px_{3}=x_{2},...\rangle } .
  • O p-grupo de Prüfer é o único p-grupo infinito que é localmente cíclico (todo conjunto finito de elementos gera um grupo cíclico).
  • O p-grupo de Prüfer é divisível.

Referências

  • «Quasicyclic group». on PlanetMath 
  • N.N. Vil'yams (2001), "Quasi-cyclic group", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 

Ver também