Função indicadora

Na matemática, a função indicadora de um conjunto é a função que indica se o elemento pertence ao conjunto, assumindo neste caso o valor 1, e 0 em caso contrário. Em algumas áreas da matemática, também é chamada de função característica.

Formalização matemática

A função indicadora de um conjunto A é denotada por ${\displaystyle I_{A}(x)}$, ${\displaystyle I\left(x\in A\right)}$), ${\displaystyle A(x)}$ ou ${\displaystyle \chi _{A}(x)}$. A letra grega χ é usada por ser a letra inicial da palavra grega que corresponde a característica.

Formalmente, a função indicadora de um conjunto A é a função:

${\displaystyle \mathbf {I} _{A}:X\to \lbrace 0,1\rbrace }$

definida por ^[1]

${\displaystyle \mathbf {I} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in A,\\0&{\mbox{se}}\ x\notin A.\end{matrix}}\right.=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in A,\\0&{\mbox{se}}\ x\in A^{c}=X-A.\end{matrix}}\right.}$

Os colchetes de Iverson permitem a notação compacta ${\displaystyle [x\in A]}$.

Propriedades da função indicadora

1. Se ${\displaystyle A\subset B}$, então ${\displaystyle \mathbf {I} _{A}\leq \mathbf {I} _{B}}$
2. ${\displaystyle \mathbf {I} _{\Omega }=1}$
3. ${\displaystyle \mathbf {I} _{A^{c}}=1-\mathbf {I} _{A}}$
4. ${\displaystyle \mathbf {I} _{A\cap B}=\min(\mathbf {I} _{A},\mathbf {I} _{B})}$
5. ${\displaystyle \mathbf {I} _{A\cup B}=\max(\mathbf {I} _{A},\mathbf {I} _{B})}$

Referências

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Ligações externas

O Commons possui imagens e outros ficheiros sobre Função indicadora

• Funções Características