Função harmônica, estritamente em Matemática, é qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas. Aplica-se em vários sub-domínios da própria matemática, além de encontrar imensa e rica utilidade na física matemática, na física, em análise de processos estocásticos, entre várias aplicações.
Função harmônica, em Matemática, em Física, em Física matemática e em Processos estocásticos, é uma função contínua e duplamente diferenciável f : U → R (onde U é um subconjunto aberto de Rn) que satisfaz a equação de Laplace, e pode ser assim expressa:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25157cd4c4b88b223f36a2885d56d0d10b753327)
em todo lugar em U. Isso é também frequentemente escrito como
ou ![{\displaystyle \Delta f=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d0ba5517eb6c7200f6119b8aab89b3ff722b541)
- onde:
é o operador laplaciano e
é o operator Laplace-de Rham
Alternativamente, função harmônica pode ser definida de outros modos:
- Função harmônica, em Matemática, também pode ser entendida como qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas.
- Há também uma outra definição aparentemente mais frágil, contudo equivalente. Realmente, uma função é dita harmônica se e somente se é fracamente harmônica — e a aparente fragilidade conceitual decorre apenas da recorrência.
Funções harmônicas podem ser definidas num espaço riemanniano múltiplo, por meio do uso do operator Laplace-de Rham,
Nesse contexto, uma função é dita harmônica se
Uma
função que satisfaz
é dita subarmônica.
Propriedades
Fórmula do Valor Médio
Seja
uma função harmônica,
aberto. Então, para cada
, temos:
onde,
é o volume da bola unitária em
,
é a bola de centro em
e raio
e
denota sua fronteira (a esfera de centro
e raio
). Isto é, se
é harmônica, então
é igual a sua média sobre qualquer esfera de centro
e raio
contida no seu domínio (veja, por exemplo, Evans (2010)[1]).
Demonstração. |
Com efeito, seja .
Fazendo a mudança de variável , temos .
Agora, calculando a derivada de em relação a , obtemos:
que, voltando a nos dá:
observando que é a normal unitária exterior para cada . Aqui, denota a derivada normal de . Daí, das identidades de Green, temos que:
pois, é harmônica por hipótese. Mostramos, assim, que para todo , logo é uma função constante e, portanto:
este último passo sendo uma propriedade da média de uma função. Temos, assim, demonstrado o que queríamos. |
Como consequência do resultado acima, podemos demonstrar que:
isto é: se
é harmônica, então
é igual a média de
sobre qualquer bola de centro
e raio
contida em seu domínio.
Demonstração. |
Com efeito: .
o que demonstra o enunciado. |
Esse resultado também tem uma recíproca. Se
é tal que
então,
é harmônica. Em outras palavras, uma função
duas vezes continuamente diferenciável cuja média sobre cada esfera contida em seu domínio é igual a função aplicada no centro da mesma é uma função harmônica.
Demonstração. |
Assumimos, sem perda de generalidade, que em alguma bola Definindo
temos que é constante em relação a , logo Por outro lado:
o que é uma contradição. |
Princípio do Máximo
Uma função harmônica atinge seu máximo (mínimo) na fronteira. Mais precisamente, se
é uma função harmônica com
, então
, bem como
. Aqui,
é um conjunto aberto,
é o fecho de
.
Esta propriedade é consequência do princípio do máximo forte[1], o qual estabelece que se, além das hipóteses acima,
for conexo e existir
tal que
, então
é constante em
. Esta propriedade é, por sua vez, consequência direta da fórmula do valor médio (veja acima).
Ver também
Referências
- ↑ a b Evans, Lawrence (2010). Partial Differential Equations 2 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0821849743
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