Espaços de Hölder

Em matemática, sobretudo na análise funcional e na teoria das equações diferenciais, os espaços de Hölder espaços vectoriais formados por funções contínuas que apresentam certas condições adicionais de regularidade. O espaço tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Otto Hölder.

Mais do que simplesmente classes de regularidade, os espaços de Hölder por si mesmos possuem propriedades algébricas importantes: são espaços normados completos na métrica induzida por sua norma, ou seja, são espaços de Banach.

Seja ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,}$ um conjunto aberto e ${\displaystyle \gamma \in (0,1]\,}$ um número real. Uma função ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} \,}$ é dita Hölder-contínua com expoente ${\displaystyle \gamma \,}$ se existir uma constante real ${\displaystyle C\,}$ tal que:

${\displaystyle \left|f(x)-f(y)\right|\leq C|x-y|^{\gamma },\ \ \forall \ x,y\in U.}$

Em particular, observe que, para ${\displaystyle \gamma =1\,}$, o critério coincide com o de função Lipschitz contínua.

Nestas condições, podemos definir a ${\displaystyle \gamma \,}$-ésima semi-norma de Hölder como:

${\displaystyle [f]_{C^{0,\gamma }(U)}=\sup _{\stackrel {x,y\in U}{x\neq y}}{\dfrac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\gamma }}}.}$

Além disso, perceba também que se ${\displaystyle f\,}$ for ainda uma função limitada em ${\displaystyle U\,}$, então a norma do supremo está bem definida

${\displaystyle \|f\|_{C^{0}(U)}=\sup _{x\in u}|f(x)|<\infty .}$

Logo, a ${\displaystyle \gamma \,}$-ésima norma de Hölder é definida como

${\displaystyle \|f\|_{C^{0,\gamma }(U)}=\|f\|_{C^{0}(U)}+[f]_{C^{0,\gamma }(U)}.}$

O espaço de Hölder ${\displaystyle C^{k,\gamma }(U)\,}$ consiste de todas as funções ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}\,}$ que pertencem ao espaço ${\displaystyle C^{k}(U)\,}$ das funções k vezes continuamente diferenciáveis para as quais a norma

${\displaystyle \|f\|_{C^{k,\gamma }(U)}=\sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }f\|_{C^{0}(U)}+\sum _{|k|=\alpha }[D^{\alpha }f]_{C^{0,\gamma }(U)}\,}$

é finita, onde ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\,}$ é um multi-índice cuja ordem é dada por ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$ e sua derivada de ordem ${\displaystyle \alpha \,}$ é determinada por

${\displaystyle D^{\alpha }f(x)={\frac {\partial ^{|\alpha |}f(x)}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$

A função ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ definida em ${\displaystyle [0,3]}$ é Hölderiano para cada um ${\displaystyle \alpha \leq {1 \over 2}}$.

• Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. [S.l.]: American Mathematical Society, Providence. ISBN 0-8218-0772-2 
• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, ISBN 3-540-41160-7, New York: Springer .