Espaço Twistor
Em matemática e física teórica (especialmente teoria de twistor), o espaço de twistor é o complexo espaço vetorial de soluções da equação de twistor .[1] Foi descrito na década de 1960 por Roger Penrose e Malcolm MacCallum. De acordo com Andrew Hodges, o espaço de twistor é útil para conceituar a maneira como os fótons viajam através do espaço, usando quatro números complexos. Ele também postula que o espaço de twistor pode ajudar na compreensão da assimetria da força nuclear fraca.[2]
Motivação informal
Nas palavras de Jacques Hadamard: “o caminho mais curto entre duas verdades no domínio real passa pelo domínio complexo”.[3] Portanto, ao estudar o espaço quadridimensional pode ser valioso identificá-lo com No entanto, uma vez que não existe uma maneira canônica de fazer isso, em vez disso, todos os isomorfismos que respeitam a orientação e a métrica entre os dois são considerados. Acontece que aquele complexo tridimensional espaço projetivo parametriza tais isomorfismos juntamente com coordenadas complexas. Assim, uma coordenada complexa descreve a identificação e as outras duas descrevem um ponto em . Acontece que os fibrados vetoriais com conexões autoduais ativadas (instantons) correspondem bijetivamente a feixes holomórficos no complexo 3-espaço projetivo
Definição formal
Para o espaço de Minkowski, denotado , as soluções para a equação do twistor são da forma
onde e são dois espinores Weyl constantes e é um ponto no espaço de Minkowski. Os são as matrizes de Pauli, com the indexes on the matrices. Este espaço de twistor é um espaço vetorial complexo quadridimensional, cujos pontos são denotados por , e com uma forma hermitiana.
que é invariante sob o grupo SU (2,2), que é uma cobertura quádrupla do grupo conforme C(1,3) do espaço-tempo compactado de Minkowski.
Os pontos no espaço de Minkowski estão relacionados a subespaços do espaço de twistores por meio da relação de incidência
Esta relação de incidência é preservada sob um redimensionamento geral do twistor, então geralmente se trabalha no espaço do twistor projetivo, denotado , que é isomórfico como uma variedade complexa para .
Dado um ponto está relacionado a uma linha no espaço de torção projetiva onde podemos ver a relação de incidência como dando a incorporação linear de um parametrizado por .
A relação geométrica entre o espaço do twistor projetivo e o espaço de Minkowski compactado e complexificado é a mesma que a relação entre linhas e dois planos no espaço de torção; mais precisamente, o espaço do twistor é
Tem associado a ele a dupla fibração de variedades de bandeira where is the projective twistor space
e é o espaço de Minkowski compactificado e complexificado
e o espaço de correspondência entre e é
Nas circunstâncias acima, significa espaço projetivo, um Grassmanniano, e uma variedade de sinalização. A dupla fibração dá origem a duas correspondências (ver também transformada de Penrose), e
O espaço de Minkowski complexificado e compactado está embutido em pela incorporação de Plücker; a imagem é a quádrica de Klein.[4][5]
Referências
- ↑ «Twistor theory: An approach to the quantisation of fields and space-time». Physics Reports (em inglês) (4): 241–315. 1 de fevereiro de 1973. ISSN 0370-1573. doi:10.1016/0370-1573(73)90008-2. Consultado em 16 de setembro de 2021
- ↑ Hodges, Andrew (14 de maio de 2010). One to Nine: The Inner Life of Numbers (em inglês). [S.l.]: Doubleday Canada
- ↑ «Source of Jacques Hadamard quote». homepage.divms.uiowa.edu. Consultado em 20 de setembro de 2021
- ↑ Albrecht., Rosenbaum, Ute. Beutelspacher, (1998). Projective Geometry : From Foundations to Applications. [S.l.]: Cambridge University Press. OCLC 878099753
- ↑ «Hermann Günther Graßmann». Basel: Birkhäuser Basel. 2009: 117–222. Consultado em 20 de setembro de 2021
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