Espaço Twistor

Em matemática e física teórica (especialmente teoria de twistor), o espaço de twistor é o complexo espaço vetorial de soluções da equação de twistor ${\displaystyle \nabla _{A'}^{(A}\Omega _{^{}}^{B)}=0}$.^[1] Foi descrito na década de 1960 por Roger Penrose e Malcolm MacCallum. De acordo com Andrew Hodges, o espaço de twistor é útil para conceituar a maneira como os fótons viajam através do espaço, usando quatro números complexos. Ele também postula que o espaço de twistor pode ajudar na compreensão da assimetria da força nuclear fraca.^[2]

Nas palavras de Jacques Hadamard: “o caminho mais curto entre duas verdades no domínio real passa pelo domínio complexo”.^[3] Portanto, ao estudar o espaço quadridimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ pode ser valioso identificá-lo com ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.}$ No entanto, uma vez que não existe uma maneira canônica de fazer isso, em vez disso, todos os isomorfismos que respeitam a orientação e a métrica entre os dois são considerados. Acontece que aquele complexo tridimensional espaço projetivo ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ parametriza tais isomorfismos juntamente com coordenadas complexas. Assim, uma coordenada complexa descreve a identificação e as outras duas descrevem um ponto em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Acontece que os fibrados vetoriais com conexões autoduais ativadas ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$(instantons) correspondem bijetivamente a feixes holomórficos no complexo 3-espaço projetivo ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}.}$

Para o espaço de Minkowski, denotado ${\displaystyle \mathbb {M} }$, as soluções para a equação do twistor são da forma

${\displaystyle \Omega ^{A}(x)=\omega ^{A}-ix^{AA'}\pi _{A'}}$

onde ${\displaystyle \omega ^{A}}$ e ${\displaystyle \pi _{A'}}$ são dois espinores Weyl constantes e ${\displaystyle x^{AA'}=\sigma _{\mu }^{AA'}x^{\mu }}$ é um ponto no espaço de Minkowski. Os ${\displaystyle \sigma _{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})}$ são as matrizes de Pauli, com ${\displaystyle A,A^{\prime }=1,2}$ the indexes on the matrices. Este espaço de twistor é um espaço vetorial complexo quadridimensional, cujos pontos são denotados por ${\displaystyle Z^{\alpha }=(\omega ^{A},\pi _{A'})}$, e com uma forma hermitiana.

${\displaystyle \Sigma (Z)=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}}$

que é invariante sob o grupo SU (2,2), que é uma cobertura quádrupla do grupo conforme C(1,3) do espaço-tempo compactado de Minkowski.

Os pontos no espaço de Minkowski estão relacionados a subespaços do espaço de twistores por meio da relação de incidência

${\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}$

Esta relação de incidência é preservada sob um redimensionamento geral do twistor, então geralmente se trabalha no espaço do twistor projetivo, denotado ${\displaystyle \mathbb {PT} }$, que é isomórfico como uma variedade complexa para ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$.

Dado um ponto ${\displaystyle x\in M}$ está relacionado a uma linha no espaço de torção projetiva onde podemos ver a relação de incidência como dando a incorporação linear de um ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ parametrizado por ${\displaystyle \pi _{A'}}$.

A relação geométrica entre o espaço do twistor projetivo e o espaço de Minkowski compactado e complexificado é a mesma que a relação entre linhas e dois planos no espaço de torção; mais precisamente, o espaço do twistor é

${\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {C} ^{4}.}$

Tem associado a ele a dupla fibração de variedades de bandeira ${\displaystyle \mathbb {P} \xleftarrow {\mu } \mathbb {F} \xrightarrow {\nu } \mathbb {M} }$ where ${\displaystyle \mathbb {P} }$ is the projective twistor space

${\displaystyle \mathbb {P} =F_{1}(\mathbb {T} )=\mathbb {CP} ^{3}=\mathbf {P} (\mathbb {C} ^{4})}$

e ${\displaystyle \mathbb {M} }$ é o espaço de Minkowski compactificado e complexificado

${\displaystyle \mathbb {M} =F_{2}(\mathbb {T} )=\operatorname {Gr} _{2}(\mathbb {C} ^{4})=\operatorname {Gr} _{2,4}(\mathbb {C} )}$

e o espaço de correspondência entre ${\displaystyle \mathbb {P} }$ e ${\displaystyle \mathbb {M} }$ é

${\displaystyle \mathbb {F} =F_{1,2}(\mathbb {T} )}$

Nas circunstâncias acima, ${\displaystyle \mathbf {P} }$ significa espaço projetivo, ${\displaystyle \operatorname {Gr} }$ um Grassmanniano, e ${\displaystyle F}$ uma variedade de sinalização. A dupla fibração dá origem a duas correspondências (ver também transformada de Penrose), ${\displaystyle c=\nu \circ \mu ^{-1}}$ e ${\displaystyle c^{-1}=\mu \circ \nu ^{-1}.}$

O espaço de Minkowski complexificado e compactado ${\displaystyle \mathbb {M} }$ está embutido em ${\displaystyle \mathbf {P} _{5}\cong \mathbf {P} (\wedge ^{2}\mathbb {T} )}$ pela incorporação de Plücker; a imagem é a quádrica de Klein.^[4][5]

Referências

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