Erro de truncamento

É um erro inerente ao método numérico. Surge cada vez que se substitui um processo matemático infinito por um processo finito ou discreto.

Em matemática, sobretudo na análise numérica, o erro de truncamento é erro que surge do truncamento de expressões matemáticas em um número finito de passos.

Em uma série de Taylor ${\displaystyle S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}\,}$, o erro de truncamento de ordem N em ponto x, ${\displaystyle R_{N}(x)\,}$ é definido como a diferença entre o valor exato de ${\displaystyle S(x)\,}$ e a soma dos N primeiros termos da série:

${\displaystyle R_{N}(x)=\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}x^{n}\,}$

A série de Taylor da função ${\displaystyle f}$ definida por ${\displaystyle f(x)}$= ${\displaystyle e}$^x em torno de ${\displaystyle x}$=1 é expressa por:

${\displaystyle e}$^x= 1+ x+ ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2!}}}$+ ${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3!}}}$+ …+ ${\displaystyle {\frac {x^{n}}{n!}}}$+ …, então

${\displaystyle e}$¹= 1+ 1+${\displaystyle {\frac {1}{2!}}}$+${\displaystyle {\frac {1}{3!}}}$+ …+ ${\displaystyle {\frac {1}{n!}}}$+ …

Desejando -se calcular o valor de ${\displaystyle e}$¹ utilizando-se os sete primeiros termos da série, tem-se:

${\displaystyle e}$¹≈ 1+ 1+${\displaystyle {\frac {1}{2!}}}$+ ${\displaystyle {\frac {1}{3!}}}$+${\displaystyle {\frac {1}{4!}}}$+${\displaystyle {\frac {1}{5!}}}$+${\displaystyle {\frac {1}{6!}}}$

${\displaystyle e}$≈ 2.718055556

Há um erro de truncamento, pois dos infinitos termos da série foram considerados apenas os sete primeiros.

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Referências