Equações separáveis

Uma equação diferencial é dita separável ou de variáveis separáveis se pode ser escrita na forma^[1].:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {h(x)}{g(y)}}}$ ou ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {u(y)}{v(x)}}}$

Para resolvermos uma equação diferencial separável, basta separarmos as variáveis e em seguida integramos ambos os membros.

Quando a variável independente não aparece explicitamente, ou seja, quando h(x) ou v(x) é uma função constante, a equação diferencial é chamada autônoma.^[2]

Seja a EDO de 1ª ordem ${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}=f'(x)}$ (1). Podemos obter a solução geral para esta EDO por separação de variáveis:

${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}=f'(x)}$ ⇒ ${\displaystyle dy=f'(x)dx}$

que pode ser integrada diretamente como:

${\displaystyle y=\int f'(x)dx+C}$

onde C é a constante de integração. Para obtermos uma solução particular (ou seja, um valor específico para a constante C), é necessário fornecer uma condição de contorno para a equação (1).^[3].

Propagação de Praga

Sabendo que em uma população isolada com P indivíduos, o número de contaminados por uma doença no instante t, ${\displaystyle x(t)\,}$, varia em uma taxa proporcional ao número de indivíduos contaminados e não-contaminados. Escrever e resolver a Equação diferencial ordinária associada a este problema.

Solução

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=Kx(t)[P-x(t)]\,}$, como esta equação é do tipo separável, temos:

${\displaystyle {\frac {dx}{x[P-x]}}=Kdt\,}$.

Integrando em ambos os lados, segue que:

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x[P-x]}}=\int Kdt\,}$.

Resolvendo por frações parciais, obtemos:

${\displaystyle {\frac {1}{x[P-x]}}={\frac {A}{x}}+{\frac {B}{[P-x]}}\,}$.

Segue um sistema onde:

${\displaystyle 1=AP+(B-A)x\,}$, com isso ${\displaystyle A={\frac {1}{P}}\,}$ , ${\displaystyle A=B\,}$.

Logo temos a seguinte integral:

${\displaystyle \int {\frac {1}{P}}({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{P-x}})dx\,}$.

Resolvendo a integral, temos:

${\displaystyle \ln {x}-\ln {(P-x)}=KPt+\ln {C}\,}$, onde C é uma constante.

${\displaystyle \ln {\frac {x}{P-x}}=KPt+\ln {C}\,}$, assim:

${\displaystyle {\frac {x}{P-x}}=Ce^{KPt}\,}$ ;

${\displaystyle (1+Ce^{KPt})x=PCe^{KPt}\,}$ ;

${\displaystyle x(t)={\frac {PCe^{KPt}}{(1+Ce^{KPt})}}\,}$ .

Com isso, a solução desta equação é expressa por:

${\displaystyle x(t)={\frac {P}{(1+{\frac {1}{C}}e^{-KPt})}}\,}$ .

Referências

• Método do fator integrante
• Método da variação de parâmetros
• Equação diferencial exata
• Redução de ordem
• Coeficientes a determinar
• Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)