Equação de Pauli

A equação de Pauli , também conhecida como Equação Schrödinger-Pauli, é uma formulação da Equação de Schrödinger para um spin-partícula que leva em consideração a interação da rotação de uma partícula com o campo eletromagnético. Essas situações são os casos não-relativísticos da Equação de Dirac, onde as partículas em questão tem uma velocidade muito baixa para que os efeitos da relatividade tenham importância, podendo ser ignorados.

A equação de Pauli foi formulada por Wolfgang Pauli no ano de 1927.

Detalhes

A equação de Pauli é mostrada como:

[ 1 2 m ( σ → ⋅ ( p → − q A → ) ) 2 + q ϕ ] | ψ ⟩ = i ℏ ∂ ∂ t | ψ ⟩ {\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {p}}-q{\vec {A}}))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }

Onde:

  • m     {\displaystyle m\ \ } é a massa da partícula.
  • q     {\displaystyle q\ \ } é a carga da partícula.
  • σ →     {\displaystyle {\vec {\sigma }}\ \ } é um vetor de três componentes do dois-por-dois das matrizes de Pauli. Isto significa que cada componente do vetor é uma matriz de Pauli.
  • p →     {\displaystyle {\vec {p}}\ \ } é o vetor de três componentes da dinâmica dos operadores. Os componentes desses vetores são: − i ℏ ∂ ∂ x n {\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}
  • A →     {\displaystyle {\vec {A}}\ \ } é o vetor de três componentes do potencial magnético.
  • ϕ     {\displaystyle \phi \ \ } é o potencial escalar elétrico.
  • | ψ ⟩     {\displaystyle |\psi \rangle \ \ } são os dois componentes spinor da onda, podem ser representados como ( ψ 0 ψ 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}} .

De forma mais precisa, a equação de Pauli é:

[ 1 2 m ( ∑ n = 1 3 ( σ n ( − i ℏ ∂ ∂ x n − q A n ) ) ) 2 + q ϕ ] ( ψ 0 ψ 1 ) = i ℏ ( ∂ ψ 0 ∂ t ∂ ψ 1 ∂ t ) {\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}\left(\sum _{n=1}^{3}(\sigma _{n}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-qA_{n}))\right)^{2}+q\phi \right]{\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}=i\hbar {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \psi _{0}}{\partial t}}\\{\frac {\partial \psi _{1}}{\partial t}}\end{pmatrix}}}

Mostra que o espaço Hamiltoniano (a expressão entre parênteses ao quadrado) é uma matriz operador dois-por-dois, por conta das matrizes σ {\displaystyle \sigma } de Pauli.