Distribuição de Dirichlet

Na probabilidade e estatística, a Distribuição de Dirichlet (nome em homenagem à Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), frequentemente representada por Dir(α), é uma distribuição discreta multivaridada com um parâmetro (vetorial) α não-negativo e real.

Em análises Bayesianas, a distribuição de Dirichlet é usada como a distribuição conjugada da distribuição multinomial, ou seja, se a distribuição a priori é uma distribuição de Dirichlet e a variável observada é uma multinominal, então a distribuição a posteriori será uma distribuição de Dirichlet (com outro parâmetro).

A função de densidade das probabilidades da distribuição de Dirichlet de ordem K são as seguintes:

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{K};\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K})={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha )}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}}$

Onde ${\displaystyle x_{i}\geq 0\,}$, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}x_{i}=1\,}$, e ${\displaystyle \alpha _{i}>0\,}$.

A normalização constante é a multinomial função beta, que podem ser expressos nos termos da função gama:

${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha )={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma \left(\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}}.}$

se ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{K})\sim \operatorname {Dir} (\alpha )}$ e ${\displaystyle \alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}}$. então:

${\displaystyle \mathrm {E} [X_{i}|\alpha ]={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}}},}$

${\displaystyle \mathrm {Var} [X_{i}|\alpha ]={\frac {\alpha _{i}(\alpha _{0}-\alpha _{i})}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}}={\frac {\mathrm {E} [X_{i}|\alpha ](1-\mathrm {E} [X_{i}|\alpha ])}{(\alpha _{0}+1)}}.}$

De fato, essa é uma das propriedades da distribuição beta:

${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Beta} (\alpha _{i},\alpha _{0}-\alpha _{i}).}$

Além disso:

${\displaystyle \mathrm {Cov} [X_{i}X_{j}|\alpha ]={\frac {-\alpha _{i}\alpha _{j}}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}}.}$

A maneira de distribuição resulta em um vetor (x₁, ..., x_K) com:

${\displaystyle x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\alpha _{0}-K}},\quad \alpha _{i}>1.}$

A distribuição de Dirichlet é conjugada como uma distribuição multinomial com a seguinte lógica: se

${\displaystyle \beta |X=(\beta _{1},\ldots ,\beta _{K})|X\sim \operatorname {Mult} (X),}$

Onde β_i São ocorrências dos números i na amostra de n Pontos na discreta distribuição de {1, ..., K} definida por X, então:

${\displaystyle X|\beta \sim \operatorname {Dir} (\alpha +\beta ).}$

A relação usada nas estatísticas Bayesiana para descobrir o valor das incógnitas, X, de uma distribuição oculta de probabilidades, dada por n amostras. Intuitivamente, a distribuição prior representada como Dir(α), sendo Dir(α + β) resulta em uma distribuição posterior observadas com o historiograma β.

(ver artigo principal: Vetor Neutro).

se ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{K})\sim \operatorname {Dir} (\alpha )}$, então o vetor ~${\displaystyle X}$ será neutro^[1] se o sentido de ${\displaystyle X_{1}}$ for independente de ${\displaystyle X_{2}/(1-X_{1}),X_{3}/(1-X_{1}),\ldots ,X_{K}/(1-X_{1})}$ e similar à ${\displaystyle X_{2},\ldots ,X_{K-1}}$.

• Distribuição beta

1. Disformização variável,por Luc Devroye

Referências

• (em finlandês)Estudos da Distribuição de Dirichlet
• (em inglês)Calculando os parâmetros da distribuição de Dirichlet
• SciencesPo: Pacote do R que contém funcões para simulação dos parâmetros da distribuição de Dirichlet.

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