Conjectura de Hodge

A conjectura de Hodge é um importante problema, ainda não resolvido, de geometria algébrica no que diz respeito a topologias de variedade algébrica complexa não singular e as subvariedades dessa variedade. Concretamente, a conjectura propõe que certos grupos de co-homologia de Rham são algébricos, isto é, são somas de dualidades de Poincaré de classes homólogas de subvariedades.

A conjectura de Hodge é um dos Problemas do Milênio do Clay Mathematics Institute, cuja solução faz jus a um prêmio de US$1.000.000,00.

Seja X uma variedade complexa conexa de dimensão complexa n. Logo X é uma variedade diferenciável orientável de dimensão 2n, pelo que seus grupos de co-homologia residem em graus zero através de 2n. Assuma-se que X é uma variedade de Kähler, ou seja, há uma decomposição em sua co-homologia com coeficientes complexos:

${\displaystyle H^{k}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H^{p,q}(X),}$

onde ${\displaystyle H^{p,q}(X)}$ é o subgrupo de grupos de co-homologia que estão representados por formas harmônicas de tipo (p, q). Isto é, estes são os grupos de co-homologia representados por formas diferenciais que, em uma determinada opção de coordenadas locais ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$, pode ser escrita como o produto de uma função harmônica com ${\displaystyle dz_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dz_{i_{p}}\wedge d{\bar {z}}_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge d{\bar {z}}_{j_{q}}}$. (Veja-se Teoria de Hodge para mais detalhes). Tomar produtos exteriores destes representantes harmônicos corresponde ao cup product em co-homologia, de forma que o cup product é compatível com a decomposição de Hodge:

${\displaystyle \cup :H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).}$

Dado que X é uma variedade complexa, X tem uma classe fundamental.

Seja Z uma subvariedade complexa de X, de dimensão k, e seja i : Z → X a função de inclusão. Escolha-se uma forma diferencial α do tipo (p, q). Podemos integrar α sobre Z:

${\displaystyle \int _{Z}i^{*}\alpha .\!\,}$.

Para avaliar esta integral, tome-se um ponto de Z e denomine-o 0. Ao redor de 0, podemos selecionar coordenadas locais ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ em X tais que Z seja ${\displaystyle z_{k+1}=\cdots =z_{n}=0}$. Se p > k, então α deve conter algum ${\displaystyle dz_{i}}$ onde ${\displaystyle z_{i}}$ tenda a zero em Z. O mesmo é verdadeiro se q > k. Consequentemente, esta integral é zero se (p, q) ≠ (k, k).

De forma mais abstrata, a integral pode ser escrita como o cap product do grupo de homologia de Z e do grupo de homologia representado por α. Segundo a dualidade de Poincaré, o grupo de homologia de Z é dual ao grupo de homologia que chamaremos [Z], e o cap product pode ser calculado tomando o cup product de [Z] e α e fazendo o cap com a classe fundamental de X. Dado que [Z] é um grupo de co-homologia, deve possuir uma decomposição de Hodge. Segundo o cálculo anterior, ao realizar o cup deste grupo com outro tipo de grupo (p, q) ≠ (k, k), obteremos zero como resultado. Dado que ${\displaystyle H^{2n}(X,\mathbf {C} )=H^{n,n}(X)}$, conclui-se que [Z] deve situar-se em ${\displaystyle H^{n-k,n-k}(X,\mathbf {C} )}$.

Em termos gerais, podemos dizer que a conjectura de Hodge propões a seguinte questão:

Que classes de co-homologia em ${\displaystyle H^{k,k}(X)}$ derivam de subvariedades complexas Z?

Referências

• Hodge, W. V. D. "The topological invariants of algebraic varieties". Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Cambridge, MA, 1950, vol. 1, pp. 181–192.
• Grothendieck, A. "Hodge's geral conjecture is false for trivial reasons". Topology 8 1969, pp. 299–303.

• Descrição oficial do problema na página do Clay Math Institute
• Charla de Dão Freed (Universidade de Texas) sobre a conjectura de Hodge (Real Video) (Slides)
• Indranil Biswas. A conjectura de Hodge para variedades gerais de Prym

• Portal da matemática