Coeficientes a determinar

O método dos coeficientes a determinar fornece uma solução particular para uma equação linear não homogênea

a y ″ + b y ′ + c y = d ( x ) {\displaystyle ay''+by'+cy=d(x)}

Se conhecemos a função d=d(x), o objetivo será obter uma solução particular y p = y p ( x ) {\displaystyle y_{p}=y_{p}(x)} que possa ser escrita como combinação linear de um conjunto linearmente independente de funções.[1]

O problema fica mais fácil quando esta função d=d(x) tem alguma das formas abaixo.

Polinômio de grau n na variável independente

A solução procurada deverá estar na forma:

y p ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 {\displaystyle y_{p}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}

Múltiplo de uma função exponencial

A solução procurada deverá estar na forma:

y p ( x ) = k e r x {\displaystyle y_{p}(x)=ke^{rx}}

Combinação linear das funções cos(kx) e sen(kx)

Solução procurada na forma:

y p ( x ) = A cos ⁡ ( k x ) + B sin ⁡ ( k x ) {\displaystyle y_{p}(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx)}

Soma das formas anteriores

A solução deverá estar na forma:

= y p ( x ) = y 1 ( x ) + y 2 ( x ) {\displaystyle =y_{p}(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x)}

onde y 1 = y 1 ( x ) {\displaystyle y_{1}=y_{1}(x)} é a solução obtida na primeira forma e y 2 = y 2 ( x ) {\displaystyle y_{2}=y_{2}(x)} é a solução obtida na segunda forma.

Produto das formas anteriores

A solução deverá estar na forma:

= y p ( x ) = y 1 ( x ) y 2 ( x ) {\displaystyle =y_{p}(x)=y_{1}(x)y_{2}(x)}

onde y 1 = y 1 ( x ) {\displaystyle y_{1}=y_{1}(x)} é a solução obtida na primeira forma e y 2 = y 2 ( x ) {\displaystyle y_{2}=y_{2}(x)} é a solução obtida na segunda forma.

Observação: Se as funções sugeridas já aparecerem na solução geral da equação homogênea associada, então a sugestão para a nova função deverá ser a mesma função sugerida, multiplicada por x.[2]

Exemplos

Consideremos o operador diferencial linear L com coeficientes constantes e uma equação diferencial linear L(y)=d(x).[3]

L(y)=d(x) Forma da solução procurada
L ( y ) = 3 x 2 {\displaystyle L(y)=3x^{2}} y ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle y(x)=ax^{2}+bx+c}
L ( y ) = 7 e 3 x {\displaystyle L(y)=7e^{3x}} a e 3 x {\displaystyle ae^{3x}}
L ( y ) = 17 cos ⁡ ( 3 x ) {\displaystyle L(y)=17\cos(3x)} y ( x ) = a cos ⁡ ( 3 x ) + b sin ⁡ ( 3 x ) {\displaystyle y(x)=a\cos(3x)+b\sin(3x)}
L ( y ) = 7 sin ⁡ ( 2 x ) {\displaystyle L(y)=7\sin(2x)} y ( x ) = a cos ⁡ ( 2 x ) + b sin ⁡ ( 2 x ) {\displaystyle y(x)=a\cos(2x)+b\sin(2x)}
L ( y ) = 7 sin ⁡ ( 2 x ) + 8 cos ⁡ ( 2 x ) {\displaystyle L(y)=7\sin(2x)+8\cos(2x)} y ( x ) = a cos ⁡ ( 2 x ) + b sin ⁡ ( 2 x ) {\displaystyle y(x)=a\cos(2x)+b\sin(2x)}
L ( y ) = 3 e 5 x + ( x 2 + 7 x + 3 ) {\displaystyle L(y)=3e^{5x}+(x^{2}+7x+3)} y ( x ) = d e 5 x + [ a x 2 + b x + c ] {\displaystyle y(x)=de^{5x}+[ax^{2}+bx+c]}
L ( y ) = y ( x ) = 3 e 5 x ( x 2 + 7 x + 3 ) {\displaystyle L(y)=y(x)=3e^{5x}(x^{2}+7x+3)} y ( x ) = e 5 x [ a x 2 + b x + c ] {\displaystyle y(x)=e^{5x}[ax^{2}+bx+c]}
L ( y ) = 3 e 5 x sin ⁡ ( 2 x ) {\displaystyle L(y)=3e^{5x}\sin(2x)} y ( x ) = e 5 x [ a cos ⁡ ( 2 x ) + b sin ⁡ ( 2 x ) {\displaystyle y(x)=e^{5x}[a\cos(2x)+b\sin(2x)}

Referências

  1. ↑ SODRÉ, U. (2003). «Equações Diferenciais Ordinárias, notas de aula|Computação, Engenharia Elétrica e Engenharia Civil» (PDF). p. 36. Consultado em 12 de novembro de 2012 
  2. ↑ SODRÉ, U. (2003). «Equações Diferenciais Ordinárias, notas de aula|Computação, Engenharia Elétrica e Engenharia Civil» (PDF). p. 37. Consultado em 12 de novembro de 2012 
  3. ↑ SODRÉ, U. (2003). «Equações Diferenciais Ordinárias, notas de aula|Computação, Engenharia Elétrica e Engenharia Civil» (PDF). p. 38. Consultado em 12 de novembro de 2012 

Ver também