Catenoide

Uma catenoide caracteriza-se por ser a superfície de mínima área gerada pela revolução de uma catenária em torno de um eixo adequado, nomeadamente sua diretriz.^{[Ref. 1]}

Surge, a exemplo, em várias ocasiões quando está-se a brincar com películas à base de água e sabão. Um fenômeno físico denominado tensão superficial faz com que tais películas portem-se como superfícies elásticas, e por tal assumam formas que correspondem às formas de menor área possível entre todas as que satisfazem as condições de contorno impostas.

Entre todos os sólidos com volumes iguais e não nulos, a esfera é o sólido que possui a menor área superficial possível. Não obstante, as bolhas de sabão são esféricas. De forma semelhante, a catenoide constitui solução para o problema de extremização da área de superfícies que satisfazem determinadas condições de contorno, restrição agora imposta às bordas, e não ao volume, do objeto geométrico associado.

A catenoide é um problema típico atrelado ao cálculo das variações, área da matemática que busca determinar as funções que extremizam um dado funcional. O cálculo das variações tem aplicações importantes em Física, onde formalismos como a mecânica lagrangiana ou a mecânica hamiltoniana, formalismos em termos físicos alternativos e em tudo equivalentes ao da mecânica newtoniana, implicam ou decorrem do princípio de Hamilton, o qual extremiza uma grandeza física denominada ação.^{[Ref. 2][Ref. 3][Ref. 4]}

A apresentação do ferramental matemático necessário às formulações hamiltoniana e lagrangiana da mecânica em tratados sobre o assunto implicam a apresentação quase obrigatória, não apenas nos livros de cálculo mas também nos livros de Física, de problemas clássicos de extremização, a exemplos o de se determinar a menor curva contida em uma dada superfície conectando dois pontos especificados - cujas soluções definem as geodésicas da superfície, e que dá por solução uma reta quando a superfície em questão é plana, e um círculo máximo quando a superfície é esférica; o de se determinar a curva pela qual um objeto, quando abandonado em repouso em um ponto A mais alto que B, A e B não necessariamente alinhados verticalmente, escorrega sob a ação da gravidade até atingir o ponto B, fazendo-o contudo no menor tempo possível, problema conhecido como problema da braquistócrona e que tem por solução uma ciclóide; e por fim o problema da superfície de revolução passando por dois pontos especificados e que define a menor área, problema que tem por resultado a catenoide procurada. A catenária é a solução para o problema de se determinar a forma de uma corda ou cabo flexível com extremidades fixas quando sob a ação da gravidade; os fios da rede elétrica e os varais de roupa determinam curvas catenárias.

Adentrando as considerações matemáticas atreladas ao cálculo das variações e ao problema em mãos, para funcionais que possam ser escritos na forma:

${\displaystyle J_{\left(y_{(x)},{\dot {y}}_{(x)}\right)}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{(y_{(x)},{\dot {y}}_{(x)},x)}dx}$ ^{[Ref. 2][Ref. 3][Ref. 4]}

onde o ponto sobre uma variável designa a derivada em relação ao parâmetro x, ${\displaystyle \left({\dot {y}}={\frac {dy}{dx}}\right)}$, e onde x₁ e x₂ juntamente com suas respectivas ordenadas Y_(x1) e Y_(x2) associam-se a pontos fixos, o cálculo das variações dá por resultado que, para J ser um extremo, a função ${\displaystyle }$ no integrando deve satisfazer à equação de Euler-Lagrange:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial f}{\partial {\dot {y}}}}\right)-{\frac {\partial f}{\partial y}}=0}$ ^{[Ref. 2][Ref. 3][Ref. 4]}

Em física, se a função ${\displaystyle f_{(y,{\dot {y}},x)}}$ for a lagrangiana do sistema e o parâmetro x corresponder ao tempo t, extremizar J implica extremizar a ação, conforme o princípio de Hamilton.

No problema da catenoide quer-se extremizar a área A da superfície de revolução gerada pela curva y_(x) que passa por dois pontos dados Y_(x1) e Y_(x2), de forma que J corresponde, nesse caso, à área A da superfície.

${\displaystyle A_{\left(y_{(x)},{\dot {y}}_{(x)}\right)}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{(y_{(x)},{\dot {y}}_{(x)},x)}dx}$

A fim de se determinar o integrando ${\displaystyle f_{(y,{\dot {y}},x)}}$, observa-se inicialmente que curva y_(x) determina, para cada ponto de abscissa x, um diferencial de caminho ${\displaystyle {\vec {ds}}}$ tal que, em notação de pontos cartesianos:

${\displaystyle {\vec {ds}}=(dx,dy)=(dx,{\dot {y}}dx)}$.

de onde ds, o módulo de ${\displaystyle {\vec {ds}}}$, vale:

${\displaystyle ds={\sqrt {{dx}^{2}+{dy}^{2}}}=dx.{\sqrt {1+{\dot {y}}^{2}}}}$

A área gerada pela revolução desse diferencial de caminho em torno do eixo coordenado Y, ou seja, o diferencial de área dA a ele associado, é por tal a área da superfície de um anel com raio x, perímetro ${\displaystyle P=2\pi x}$ e espessura ${\displaystyle ds=dx.{\sqrt {1+{\dot {y}}^{2}}}}$:

${\displaystyle dA=2\pi xds=2\pi x\left({\sqrt {1+{\dot {y}}^{2}}}\right)dx}$ ^{[Ref. 2][Ref. 3][Ref. 4]}

de onde:

${\displaystyle A_{\left(y,{\dot {y}}\right)}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}dA_{(y,{\dot {y}},x)}=2\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}x\left({\sqrt {1+{\dot {y}}^{2}}}\right)dx}$.

A função ${\displaystyle f_{(y,{\dot {y}},x)}}$ associada ao problema é pois:

${\displaystyle f_{(y,{\dot {y}},x)}=x\left({\sqrt {1+{\dot {y}}^{2}}}\right)}$ ^{[Ref. 2][Ref. 3][Ref. 4]}

A função y deve ser tal que f satisfaça então a equação de Euler-Lagrange. Determinado-se as derivadas nela contidas, tem-se respectivamente:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \ y}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\dot {y}}}}={\frac {x{\dot {y}}}{\sqrt {1+{\dot {y}}^{2}}}}}$

o que, inspecionando a forma da equação, implica, para a veracidade da mesma,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {x{\dot {y}}}{\sqrt {1+{\dot {y}}^{2}}}}\right]=0}$

ou seja,

${\displaystyle {\frac {x{\dot {y}}}{\sqrt {1+{\dot {y}}^{2}}}}={\text{constante}}=a}$.

Isolando-se ${\displaystyle {\dot {y}}}$ e integrando tem-se que:

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {a}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}$

${\displaystyle y=\int {\frac {a.dx}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}$

que, consultando-se uma tabela de integrais — em particular uma lista de integrais de funções irracionais — implica uma equação em arco cosseno hiperbólico para a curva a ser volvida.

${\displaystyle y_{(x)}=a.arccosh{\left({\frac {x}{a}}\right)}+b}$

onde a e b são constantes de integração.

Isolando-se x tem-se, como afirmado na definição de catenoide, a equação de uma catenária:

${\displaystyle x=a.cosh\left({\frac {y-b}{a}}\right)}$ ^{[Ref. 2][Ref. 3][Ref. 4]}

Os valores de a e b podem agora ser determinados impondo-se a condição de que a curva passe pelos pontos extremos conhecidos ${\displaystyle Y_{(x_{1})}}$ e ${\displaystyle Y_{(x_{2})}}$ inicialmente especificados no problema.

• Catenária
• Princípio de d'Alembert
• Hamiltoniano
• Mecânica de Lagrange
• Bolha de sabão
• Superfície Costa

Referências

• Geometria das Superfícies Mínimas em R³ e Superfícies Máximas tipo Espaço em L³