É conhecido por seu trabalho sobre análise complexa.[1] Contribuiu intensamente em outras áreas da matemática. Foi descoberto por Iaroslav Blagouchine[2] que Malmsten foi o primeiro a calcular diversas integrais logarítmicas importantes, intimamente relacionadas a funções gama e zeta, dentre as quais estão as integrais de Vardi e séries de Kummer para os logarítmos da função gamma. Em particular, em 1842 calculou as seguintes integrais
Os detalhes e uma interessante análise histórica são apresentados no artigo de Blagouchine.[2] Muitas destas integrais foram redescobertas mais tarde por diversos pesquisadores, dentre eles Vardi,[3] Adamchik,[4] Medina[5] e Moll.[6] Alguns autores atribuíram a primeira destas integrais a Vardi, que as recalculou em 1988. Malmsten calculou estas integrais usando diversas representações em série. Foi mostrado que estas integrais podem ser calculadas pelo método das integrais de contorno,[2] aplicando a função zeta de Hurwitz,[4] empregando polilogarítmos[5] e usando funções L.[3] Formas mais elaboradas das integrais de Malmsten surgem nos trabalhos de Adamchik[4] e Blagouchine[2] (mais de 70 integrais). Em seguida são apresentadas algumas destas integrais
sendo m e n inteiros positivos tal que m<n, G - é a constante de Catalan, ζ - é a função zeta de Riemann, Ψ - é a função digama, Ψ1 - é a função trigamma; ver por exemplo eq. (43), (47) e (48) em[4] para as primeiras três integrais, e exercícios no. 36-a, 36-b, 11-b e 13-b em[2] para as últimas quatro integrais respectivamente (sendo a terceira integral calculada em ambos os trabalhos). É de se salientar que algumas das integrais de Malmsten resultam em funções gama e poligama de um argumento complexo, não encontradas com frequência em análise. Por exemplo, foi mostrado por Iaroslav Blagouchine,[2]
ou,
ver exercícios 7-а e 37, respectivamente. As integrais de Malmsten são também relacionadas com as constantes de Stieltjes.[2][7][8]
Em 1842 Malmsten calculou algumas séries logarítmicas, dentre as quais as duas séries
e
A última série foi redescoberta de forma ligeiramente diferente por Ernst Kummer, que obteve uma expressão similar
em 1847[2] (estritamente falando, o resultado de Kummer é obtido do resultado de Malmsten fazendo a=π(2x-1)). Além disso, esta série é conhecida em análise como série de Kummer para o logaritmo da função gama, embora Malmsten a tenha deduzido 5 anos antes de Kummer.
Malsmten também contribuiu para a teoria das séries e integrais das funções zeta. Em 1842 provou as relações funcionais para a função L
bem como para a função M
onde em ambas as fórmulas 0<s<1. A primeira destas fórmulas foi proposta por Leonhard Euler em 1749,[9] mas foi Malmsten que a demonstrou (Euler apenas sugeriu esta fórmula e a verificou para diversos inteiros e semi-inteiros de s). Esta mesma fórmula para L(s) foi redescoberta por Oscar Schlömilch em 1849 (prova apresentada em 1858).[2][10][11][12] Quatro anos depois, Malmsten apresentou diversas outras fórmulas refletidas e casos particulares da função zeta de Hurwitz.
Referências
↑“Om definita integraler mellan imaginära gränsor” (1865).
↑ abcdefghiIaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. PDF
↑ abI. Vardi Integrals, an introduction to analytic number theory. American Mathematical Monthly, vol. 95, pp. 308-315, 1988.
↑ abcdV. Adamchik A class of logarithmic integrals. Proceedings of the 1997 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 1-8, 1997.
↑ abL. A. Medina and V. H. Moll A class of logarithmic integrals. The Ramanujan Journal, vol. 20, no. 1, pp. 91-126, 2009.
↑V. H. Moll Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals. MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006.
↑ Iaroslav V. Blagouchine A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 148, pp. 537-592 and vol. 151, pp. 276-277, 2015. arXiv PDF
↑Math StackExchange: evaluation of a particular integral (created: March 8, 2014)
↑L. Euler Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, année MDCCLXI, Tome 17, pp. 83-106, A Berlin, chez Haude et Spener, Libraires de la Cour et de l'Académie Royale, 1768 [read in 1749]
↑G.H. Hardy Divergent series.Oxford at the Clarendan press, 1949.
↑H. Wieleitner Geschichte der Mathematik [in 2 vols.] Berlin, 1922-1923.
↑J. Dutka On the summation of some divergent series of Euler and the zeta functions. Archive for History of Exact Sciences, Volume 50, Issue 2, pp. 187-200, Archive for History of Exact Sciences, 27.VIII.1996.
Bibliografia
Gustaf Eneström: Carl Johan Malmsten. Ny Illustrerad Tidning (Stockholm), 1886, p. 75–76.