Caráter de um grupo

Em matemática, um caráter de um grupo é o grupo de representações de um grupo por funções de valores complexos.

Estas funções podem ser pensados como representações em matrizes unidimensionais e logo são casos especiais do grupo de caráteres que se colocam no relacionado contexto da teoria do caráter. Quando um grupo é representado por matrizes, a função definida pelo traço de matrizes é chamada um caráter; no entanto, esses traços em geral, não formam um grupo.

Algumas propriedades importantes destes caráteres unidimensionais aplicáveis a caráteres em geral:

• Caráteres são invariantes sobre classes de conjugação.
• Os caráteres de representações irredutíveis são ortogonais.

A primordial importância do grupo de caráter para grupos abelianos finitos é na teoria dos números, onde são usados para construir caráteres de Dirichlet. O grupo de caráter do grupo cíclico também aparece na teoria da transformada de Fourier discreta. Para grupos abelianos localmente compactos, o grupo de caráter (com uma pressuposição de continuidade) é central na análise de Fourier.

Sendo G um grupo arbitrário. Uma função ${\displaystyle f:G\rightarrow \mathbb {C} \backslash \{0\}}$ mapeando o grupo aos números complexos diferentes de zero é chamada um caráter de G se ele é um homomorfismo de grupos — isto é, se ${\displaystyle \forall g_{1},g_{2}\in G\;\;f(g_{1}g_{2})=f(g_{1})f(g_{2})}$ e ${\displaystyle f(e)=1}$ onde e é a identidade do grupo.

Se f é um caráter de um grupo finito G, então cada função de valor f(g) é uma raíz da unidade (desde que todos os elementos de um grupo finito tenham ordem finita).

Cada caráter f é uma constante sobre classes de conjugação de G, que é, f(h g h⁻¹) = f(g). Por esta razão, o caráter é algumas vezes chamado função de classe.

Um grupo abeliano finito de ordem n tem exatamente n caráteres distintos. Estes são notados por f₁, ..., f_n. A função f₁ é a representação trivial; que é, ${\displaystyle \forall g\in G\;\;f_{1}(g)=1}$. Ela é chamada de caráter principal de G; os outros são chamados de caráteres não principais. Os caráteres não principais tem a propriedade que ${\displaystyle f_{i}(g)\neq 1}$ para algum ${\displaystyle g\in G}$.

Se G é um grupo abeliano, então o conjunto de caráteres f_k forma um grupo abeliano sob multiplicação ${\displaystyle (f_{j}f_{k})(g)=f_{j}(g)f_{k}(g)}$ para cada elemento ${\displaystyle g\in G}$. Este grupo é o grupo de caráteres de G e é algumas vezes notado como ${\displaystyle {\hat {G}}}$. Esta é de ordem n. O elemento identidade de ${\displaystyle {\hat {G}}}$ é o caráter principal f₁. A inversa de f_k é a recíproca 1/f_k. Note que desde que ${\displaystyle \forall g\in G\;\;|f_{k}(g)|=1}$, a inversa igual ao conjugado complexo.

Considere-se a matriz ${\displaystyle n\times n}$ A=A(G) cujo elementos são ${\displaystyle A_{jk}=f_{j}(g_{k})}$ onde ${\displaystyle g_{k}}$ é o késimo elemento de G.

A soma das entradas na jésima linha de A é dada por

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{jk}=\sum _{k=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0}$ if ${\displaystyle j\neq 1}$, e

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{1k}=n}$.

A soma das entradas na késima coluna A é dada por

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{jk}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0}$ if ${\displaystyle k\neq 1}$, e

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{j1}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(e)=n}$.

Sendo que ${\displaystyle A^{\ast }}$ denota o conjugado transposto de A. Então

${\displaystyle AA^{\ast }=A^{\ast }A=nI}$.

Isto implica que a desejada relação de ortogonalidade para os caráteres: i.e.,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{f_{k}}^{*}(g_{i})f_{k}(g_{j})=n\delta _{ij}}$ ,

onde ${\displaystyle \delta _{ij}}$ é o delta de Kronecker e ${\displaystyle f_{k}^{*}(g_{i})}$ é o conjugado complexo de ${\displaystyle f_{k}(g_{i})}$.

• Ver capítulo 6 de Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3

• Dualidade de Pontryagin