Na geometria de Riemann, um campo de Jacobi é um campo vetorial ao longo de uma geodésica
em uma variedade Riemanniana descrevendo a diferença entre a geodésica e uma geodésica "infinitesimamente próxima". Em outras palavras, os campos de Jacobi ao longo de uma geodésica formam o espaço tangente à geodésica no espaço de todas as geodésicas. Estes campos são nomeados em homenagem a Carl Jacobi[1].
Solução da equação de Jacobi
Deixe
e conclua isso para obter uma base ortonormal
em
. Transporte em paralelo para encontrar a base
ao longo de
. Isto dá uma base ortonormal com
.
O campo Jacobi pode ser escrito em coordenadas em termos dessa base como
e assim
![{\displaystyle {\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2bdb5bb7751d8e13e88aca2eb4b5d118582445)
e a equação de Jacobi pode ser reescrita como um sistema
para cada
.
Desta forma, obtemos uma equação diferencial linear ordinária (ODE). Como esse ODE possui coeficientes uniformes, temos que existem soluções para todos
e são únicas, dado
e
, para todo
.[2].
Referências
- ↑ Jacobi Field - Introduction to Riemannian Geometry por Anna Wienhard e Gye-Seon Lee (2015)
- ↑ Jacobi field
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