Zbieżność monotoniczna – własność ciągu liczb rzeczywistych lub funkcji rzeczywistych.
Ciągi liczbowe
Ciąg liczb rzeczywistych
jest monotonicznie zbieżny do liczby
jeśli
jest ciągiem monotonicznym zbieżnym do liczby
Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. Zatem ciągi monotonicznie zbieżne to dokładnie ograniczone ciągi monotoniczne.
Ciągi funkcyjne
Niech
będzie dowolnym zbiorem oraz
Ciąg
jest zbieżny monotonicznie do funkcji
jeśli
lub
oraz
jest zbieżny punktowo do funkcji
tzn. dla każdego
mamy, że ![{\displaystyle f(x)=\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5095e4032d451514b8e6190b239ce86eeab25721)
Warunek (1) zapewnia, że ciąg
jest niemalejący dla dowolnego
albo też ciąg jest nierosnący dla dowolnego
Jest to więc mocniejszy warunek niż stwierdzenie, że ciąg
jest monotoniczny dla każdego
.
Przykładowe użycie
- Twierdzenie Diniego: jeśli
są ciągłe, ciąg
jest zbieżny monotonicznie do funkcji
to
zbiega jednostajnie do ![{\displaystyle f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb3ed2e17fa8f336dcc0fd4b3eddbfb02a50ef3)
- Twierdzenie Lebesgue’a: jeśli
są całkowalne w sensie Lebesgue’a i ciąg
jest zbieżny monotonicznie do funkcji
to
jest mierzalna oraz ![{\displaystyle {}\int \limits _{[0,1]}f=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{[0,1]}f_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d773561e9cbc1a4213a73c0d8c7d18ba9e13d8d)
Zobacz też