Zbiór z wyróżnionym punktem

Zbiór z wyróżnionym punktem – zbiór wraz z wyróżnionym w nim elementem. Jest to jedna z prostszych struktur algebraicznych algebry uniwersalnej definiowana jako zbiór wraz z jednym działaniem zeroargumentowym wskazującym wyróżniony punkt.

Przekształcenia zbiorów z wyróżnionymi punktami to funkcje z jednego zbioru w drugi zachowujące wyróżnione punkty, tzn. dla zbiorów ${\displaystyle X,Y}$ z wyróżnionymi punktami, odpowiednio ${\displaystyle x_{0}\in X}$ oraz ${\displaystyle y_{0}\in Y,}$ jest to odwzorowanie ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ takie, że ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}.}$ Zwykle odwzorowania te zapisuje się w postaci

${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0}).}$

Klasa wszystkich zbiorów z wyróżnionymi punktami wraz z klasą wszystkich przekształceń je zachowujących tworzy kategorię.

Zbiór z wyróżnionym punktem może być postrzegany jako przestrzeń z wyróżnionym punktem wyposażoną w topologię dyskretną.