Zbiór induktywny

Zbiór induktywny – rodzina zbiorów ${\displaystyle x}$ spełniająca warunki

1. ${\displaystyle \varnothing \in x;}$
2. jeżeli ${\displaystyle z\in x,}$ to ${\displaystyle z\cup \{z\}\in x.}$

Istnienie (co najmniej jednego) zbioru induktywnego postuluje aksjomat nieskończoności, będący częścią aksjomatyki Zermela-Franekla, czyli najpopularniejszej obecnie aksjomatyki współczesnej matematyki.

Część wspólna klasy ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ wszystkich zbiorów induktywnych jest zbiorem, który oznacza się symbolem ${\displaystyle \omega .}$ Okazuje się, że jest on równocześnie najmniejszą nieskończoną liczbą porządkową. Zbiór ${\displaystyle \omega }$ spełnia aksjomaty Peana, dlatego może być utożsamiany ze zbiorem liczb naturalnych.

• zbiór przechodni