Zbiór graniczny

Zbiorem granicznym ${\displaystyle C_{\mathfrak {D}}(f,z_{0})}$ funkcji ${\displaystyle f:{\mathfrak {D}}\to \mathbb {C} }$ w punkcie ${\displaystyle z_{0}\in {\overline {\mathfrak {D}}},}$ gdzie ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ jest obszarem w płaszczyźnie zespolonej ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ a ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {D}}}}$ jest domknięciem tego obszaru, jest zbiór punktów granicznych ciągów ${\displaystyle \{f(z_{n})\},}$ gdzie ${\displaystyle \{z_{n}\}\subset {\mathfrak {D}}\setminus \{z_{0}\}}$^[1]:

${\displaystyle \{\alpha :\{z_{n}\}\subset {\mathfrak {D}}\setminus \{z_{0}\},\lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{0},\lim _{n\to \infty }f(z_{n})=\alpha \}.}$

Zbiór graniczny można także zdefiniować następująco

${\displaystyle C_{\mathfrak {D}}(f,z_{0})=\bigcap _{r>0}{\overline {{\mathfrak {D}}_{r}}},}$

gdzie ${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{r}=f(\delta _{r}\cap ({\mathfrak {D}}\setminus \{z_{0}\})}$ oraz ${\displaystyle \delta _{r}=\{z:|z-z_{0}|<r\}}$^[2].

Jeśli zbiór graniczny składa się z jednego punktu, nazywa się zbiorem granicznym osobliwym.

• Zbiór ${\displaystyle C_{\mathfrak {D}}(f,z_{0})}$ jest zbiorem domkniętym^[3].
• Pojęcie zbioru granicznego można zdefiniować dla prostej rzeczywistej oraz uogólnić na przestrzenie wektorowe nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych.