Zasada najmniejszego działania
Zasada najmniejszego działania Hamiltona – zasada wariacyjna służąca do znajdowania równań ruchu układów fizycznych złożonych z jednej lub wielu cząstek. Zasada ta została podana przez Williama R. Hamiltona w 1834 roku[1] i stanowi jedną z fundamentalnych zasad fizyki klasycznej (porównaj: fizyka kwantowa).
Działanie Hamiltona
Działaniem Hamiltona obliczonym dla trajektorii w przestrzeni konfiguracyjnej układu fizycznego, łączącej punkt w chwili z punktem w chwili nazywamy całkę z funkcji Lagrange’a danego układu fizycznego, tj.
Działanie zależy od trajektorii wzdłuż której się je liczy.
Przykład
Dla cząstki swobodnej w przestrzeni funkcja Lagrange’a jest po prostu równa energii kinetycznej
gdzie:
Na podstawie zasady Hamiltona (patrz niżej) można wyprowadzić równanie Eulera-Lagrange’a, które jest równaniem ruchu cząstki o takiej funkcji Lagrange’a – w tym wypadku otrzyma się równanie Newtona w postaci
Zasada Hamiltona
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Least_action_principle.svg/250px-Least_action_principle.svg.png)
Zasada Hamiltona głosi, że:
- Rzeczywisty układ fizyczny porusza się po trajektorii, dla której działanie Hamiltona przyjmuje wartość stacjonarną (tj. minimum, maksimum lub punkt przegięcia), przy czym w obliczaniu działania rozważa się wszystkie możliwe trajektorie łączące zadany punkt początkowy i końcowy w zadanym czasie.
Jeżeli punkty te leżą blisko siebie, to działanie ma minimum (stąd nazwa: zasada najmniejszego działania).
Jednak w ogólności zasada Hamiltona jest zasadą stacjonarnego działania: przy wariowaniu toru rzeczywistego działanie nie zmieni się w pierwszym rzędzie, a to oznacza, że działanie ma wartość stacjonarną, analogicznie jak dla funkcji jednej zmiennej, gdzie zerowanie się pochodnej oznacza przyjęcie przez funkcję wartości stacjonarnej (tj. minimum, maksimum lub w punkcie przegięcia).
Inaczej mówiąc, zasada Hamiltona oznacza, że wariacja działania przyjmuje wartość równą zeru
Zasada Hamiltona prowadzi do równań Eulera-Lagrange’a.
Podejście teleologiczne a determinizm
Zasada najmniejszego działania wydaje się być przykładem tak zwanego podejścia teleologicznego: układ porusza się między dwoma punktami tak, by zrealizować pewien cel (tu: sprawiać, by działanie było stacjonarne). Jednak jest to tylko pozorne, bowiem zasada Hamiltona jest równoważna równaniom Eulera-Lagrange’a (choć nie w każdych warunkach), te zaś stanowią układ równań różniczkowych, które implikują deterministyczny (przyczynowy) ruch układu.
Inne zasady wariacyjne
- zasada Jacobiego
- zasada Fermata
Zobacz też
- lagranżjan
Przypisy
- ↑ Hamiltona zasada, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-01-05] .
Bibliografia
- Chris G. Gray, Principle of least action, Scholarpedia, 2009.
- W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012.
- LCCN: sh85075565
- J9U: 987007560511405171
- Britannica: topic/principle-of-least-action
- Catalana: 0032077