Linia styczna do krzywej w punkcie oznaczonym czerwoną kropką. Wszystkie wektory styczne do krzywej w tym punkcie leżą na tej prostej, tworząc przestrzeń styczną 1-wymiarową. Płaszczyzna styczna do powierzchni sferycznej. Wszystkie wektory styczne do tej powierzchni w danym punkcie leżą na tej płaszczyźnie, tworząc przestrzeń styczną 2-wymiarową. Wektor styczny to wektor o kierunku wyznaczonym przez styczną do:
krzywej, powierzchni, hiperpowierzchni, poprowadzoną w danym punkcie przestrzeni euklidesowej w ogólności n -wymiarowej. Wektory styczne w sposób analityczny opisuje geometria różniczkowa .
W ogólniejszym kontekście wektory styczne są elementami przestrzeni stycznej, jaką można zdefiniować dla każdego punktu rozmaitości różniczkowej (euklidesowej, pseudoeuklidesowej, riemannowskiej , pseudoriemannowskiej ).
Dla linii krzywej wektory te należą do prostej stycznej do tej krzywej w danym jej punkcie i tworzą przestrzeń styczną 1-wymiarową. Dla powierzchni 2D wektory te leżą na płaszczyźnie stycznej do tej powierzchni w danym jej punkcie i tworzą przestrzeń styczną 2-wymiarową. Dla hiperpowierzchni (N -1)-wymiarowej zanurzonej w przestrzeni euklidesowej N -wymiarowej, wektory styczne leżą na tej stycznej hiperpowierzchni euklidesowej (N -1)-wymiarowej i tworzą przestrzeń styczną (N -1)-wymiarową.
Wektory styczne do powierzchni 2D (1) Dwuwymiarową powierzchnię H {\displaystyle H} można opisać za pomocą dwóch niezależnych od siebie parametrów u , v {\displaystyle u,v}
{ x = x ( u , v ) y = y ( u , v ) z = z ( u , v ) , r → ( x , y , z ) = r → ( u , v ) . {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{matrix}}\end{cases}},\qquad {\vec {r}}(x,y,z)={\vec {r}}(u,v).} Parametry te określają siatkę współrzędnych krzywoliniowych na powierzchni H . {\displaystyle H.}
(2) Istnieją dwa szczególne wektory styczne s → u {\displaystyle {\vec {s}}_{u}} oraz s → v {\displaystyle {\vec {s}}_{v}} do powierzchni H {\displaystyle H} – są to wektory styczne odpowiednio do krzywych v = const = v 0 {\displaystyle v={\text{const}}=v_{0}} oraz u = const = u 0 , {\displaystyle u={\text{const}}=u_{0},} przecinających się punkcie P {\displaystyle P} o wektorze wodzącym r → ( u 0 , v 0 ) . {\displaystyle {\vec {r}}(u_{0},v_{0}).}
Współrzędne wektorów s → u , s → v {\displaystyle {\vec {s}}_{u},{\vec {s}}_{v}} oblicza się jako pochodne funkcji x , y , z {\displaystyle x,y,z} względem parametrów u {\displaystyle u} oraz v : {\displaystyle v{:}}
s → u = [ ∂ x ∂ u , ∂ y ∂ u , ∂ z ∂ u ] u = u 0 , v = v 0 , {\displaystyle {\vec {s}}_{u}=\left[{\frac {\partial x}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial z}{\partial u}}\right]_{u=u_{0},v=v_{0}},} s → v = [ ∂ x ∂ v , ∂ y ∂ v , ∂ z ∂ v ] u = u 0 , v = v 0 , {\displaystyle {\vec {s}}_{v}=\left[{\frac {\partial x}{\partial v}},{\frac {\partial y}{\partial v}},{\frac {\partial z}{\partial v}}\right]_{u=u_{0},v=v_{0}},} gdzie u 0 , v 0 {\displaystyle u_{0},v_{0}} to wartości parametrów u , v {\displaystyle u,v} wyznaczające punkt P ( x 0 , y 0 , z 0 ) , {\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0}),} czyli:
{ x 0 = x ( u 0 , v 0 ) y 0 = y ( u 0 , v 0 ) z 0 = z ( u 0 , v 0 ) . {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}x_{0}=x(u_{0},v_{0})\\y_{0}=y(u_{0},v_{0})\\z_{0}=z(u_{0},v_{0})\end{matrix}}\end{cases}}.} (3) W skrócie wektory te można zapisać następująco:
s → u = ∂ r → ∂ u | u = u 0 , v = v 0 , {\displaystyle {\vec {s}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}{\Big |}_{u=u_{0},v=v_{0}},} s → v = ∂ r → ∂ v | u = u 0 , v = v 0 , {\displaystyle {\vec {s}}_{v}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial v}}{\Big |}_{u=u_{0},v=v_{0}},} gdzie r → ( u , v ) = r → [ x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ] {\displaystyle {\vec {r}}(u,v)={\vec {r}}[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]} jest wektorem wodzącym punktu P {\displaystyle P} na powierzchni H . {\displaystyle H.}
(4) Dowolny wektor styczny s → {\displaystyle {\vec {s}}} do powierzchni H {\displaystyle H} w jej punkcie P ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})} wyraża się w postaci pewnej kombinacji liniowej wektorów stycznych s → u {\displaystyle {\vec {s}}_{u}} oraz s → v , {\displaystyle {\vec {s}}_{v},} tj.
s → = a u s → u + a v s → v , {\displaystyle {\vec {s}}=a_{u}{\vec {s}}_{u}+a_{v}{\vec {s}}_{v},} gdzie a u , a v ∈ R . {\displaystyle a_{u},a_{v}\in R.}
Wektory s → u {\displaystyle {\vec {s}}_{u}} oraz s → v {\displaystyle {\vec {s}}_{v}} stanowią więc bazę płaszczyzny stycznej do powierzchni danej równaniem
R → = r → ( u 0 , v 0 ) + a u s → u + a v s → v . {\displaystyle {\vec {R}}={\vec {r}}(u_{0},v_{0})+a_{u}{\vec {s}}_{u}+a_{v}{\vec {s}}_{v}.}
Przykład: Wektory styczne do sfery Dla sfery o promieniu r {\displaystyle r} można wprowadzić parametryzację za pomocą kątów ϕ , θ {\displaystyle \phi ,\theta } współrzędnych sferycznych .
(1) Współrzędne kartezjańskie x , y , z {\displaystyle x,y,z} są wyrażone przez współrzędne sferyczne wzorami
x = r sin θ cos ϕ , {\displaystyle x=r\,\sin \theta \,\cos \phi ,} y = r sin θ sin ϕ , {\displaystyle y=r\,\sin \theta \,\sin \phi ,} z = r cos θ . {\displaystyle z=r\,\cos \theta .} (2) Wektory styczne mają postać:
s → θ = ∂ r → ∂ θ = [ ∂ x ∂ θ , ∂ y ∂ θ , ∂ z ∂ θ ] = [ r cos θ cos ϕ , r cos θ sin ϕ , − r sin θ ] , s → ϕ = ∂ r → ∂ ϕ = [ ∂ x ∂ ϕ , ∂ y ∂ ϕ , ∂ z ∂ ϕ ] = [ − r sin θ sin ϕ , r sin θ cos ϕ , 0 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {s}}_{\theta }&={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}=\left[{\frac {\partial x}{\partial \theta }},{\frac {\partial y}{\partial \theta }},{\frac {\partial z}{\partial \theta }}\right]\\[2px]&=[r\cos \theta \cos \phi ,r\cos \theta \sin \phi ,-r\sin \theta ],\\[1em]{\vec {s}}_{\phi }&={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \phi }}=\left[{\frac {\partial x}{\partial \phi }},{\frac {\partial y}{\partial \phi }},{\frac {\partial z}{\partial \phi }}\right]\\[2px]&=[-r\sin \theta \sin \phi ,r\sin \theta \cos \phi ,0].\end{aligned}}} (3) Dowolny wektor styczny do sfery w punkcie P ( θ , ϕ ) {\displaystyle P(\theta ,\phi )} wyraża się w postaci kombinacji liniowej wektorów stycznych s → θ {\displaystyle {\vec {s}}_{\theta }} oraz s → ϕ , {\displaystyle {\vec {s}}_{\phi },} tj.
s → ( θ , ϕ ) = a θ s → θ + a ϕ s → ϕ . {\displaystyle {\vec {s}}(\theta ,\phi )=a_{\theta }{\vec {s}}_{\theta }+a_{\phi }{\vec {s}}_{\phi }.} Np. dla θ = π / 2 , {\displaystyle \theta =\pi /2,} ϕ = 0 {\displaystyle \phi =0} mamy punkt P ( x 0 , y 0 , z 0 ) = [ r , 0 , 0 ] {\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})=[r,0,0]} leżący na osi x {\displaystyle x} układu współrzędnych oraz wektory bazowe styczne
s → θ = [ 0 , 0 , − r ] , {\displaystyle {\vec {s}}_{\theta }=[0,0,-r],} s → ϕ = [ 0 , r , 0 ] {\displaystyle {\vec {s}}_{\phi }=[0,r,0]} i wektory styczne mają postać
s → = a θ s → θ + a ϕ s → ϕ = a θ [ 0 , 0 , − r ] + a ϕ [ 0 , r , 0 ] . {\displaystyle {\vec {s}}=a_{\theta }{\vec {s}}_{\theta }+a_{\phi }{\vec {s}}_{\phi }=a_{\theta }[0,0,-r]+a_{\phi }[0,r,0].} (4) Wektory te wyznaczają płaszczyznę styczną do sfery o promieniu r {\displaystyle r} w punkcie θ = π / 2 , {\displaystyle \theta =\pi /2,} ϕ = 0 {\displaystyle \phi =0} i równaniu
R → = P ( x 0 , y 0 , z 0 ) + a θ s → θ + a ϕ s → ϕ = r [ 1 , a ϕ , − a θ ] . {\displaystyle {\vec {R}}=P(x_{0},y_{0},z_{0})+a_{\theta }{\vec {s}}_{\theta }+a_{\phi }{\vec {s}}_{\phi }=r[1,a_{\phi },-a_{\theta }].} Widać, że płaszczyzna ta ma stałą współrzędną x {\displaystyle x} -ową równą r {\displaystyle r} i jest równoległa do płaszczyzny pionowej y z . {\displaystyle yz.}
Wektor styczny do krzywej w R 3 {\displaystyle R^{3}} Krzywą w przestrzeni R 3 {\displaystyle R^{3}} można opisać za pomocą jednego parametru u {\displaystyle u}
{ x = x ( u ) y = y ( u ) z = z ( u ) . {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}x=x(u)\\y=y(u)\\z=z(u)\end{matrix}}\end{cases}}.} (Analogiczne zależności są słuszne dla krzywej w przestrzeni n -wymiarowej).
Parametr u {\displaystyle u} wyznacza linię współrzędnej krzywoliniowej w przestrzeni R 3 . {\displaystyle R^{3}.} Wektor styczny s → u {\displaystyle {\vec {s}}_{u}} do krzywej w danym punkcie P ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})} otrzymuje się, obliczając pochodne funkcji x , y , z {\displaystyle x,y,z} względem parametru u : {\displaystyle u{:}}
s → u = [ ∂ x ∂ u , ∂ y ∂ u , ∂ z ∂ u ] u = u 0 , {\displaystyle {\vec {s}}_{u}=\left[{\frac {\partial x}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial z}{\partial u}}\right]_{u=u_{0}},} gdzie u 0 {\displaystyle u_{0}} to wartości parametru u {\displaystyle u} wyznaczające punkt P ( x 0 , y 0 , z 0 ) , {\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0}),} czyli:
{ x 0 = x ( u 0 ) y 0 = y ( u 0 ) z 0 = z ( u 0 ) . {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}x_{0}=x(u_{0})\\y_{0}=y(u_{0})\\z_{0}=z(u_{0})\end{matrix}}\end{cases}}.} W skrócie wektor styczny można zapisać następująco:
s → u = ∂ r → ∂ u | u = u 0 , {\displaystyle {\vec {s}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}{\Big |}_{u=u_{0}},} gdzie r → ( u ) = ( x ( u ) , y ( u ) , z ( u ) ) {\displaystyle {\vec {r}}(u)=(x(u),y(u),z(u))} jest wektorem wodzącym punktu P {\displaystyle P} krzywej.
Wektor ten wyznacza prostą styczną do krzywej w punkcie P ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})} o równaniu
R → = P ( x 0 , y 0 , z 0 ) + a u s → u , {\displaystyle {\vec {R}}=P(x_{0},y_{0},z_{0})+a_{u}{\vec {s}}_{u},} gdzie a u ∈ R . {\displaystyle a_{u}\in R.}
Przykład: Wektor styczny do krzywej w R 3 {\displaystyle R^{3}} Krzywa w przestrzeni R 3 {\displaystyle R^{3}} dana jest równaniem parametrycznym
r → ( u ) = [ 1 + u 2 , e 2 u , cos u ] , {\displaystyle {\vec {r}}(u)=[1+u^{2},e^{2u},\cos {u}],} u ∈ R , {\displaystyle u\in R,} Wektor styczny o długości jednostkowej dla u = 0 {\displaystyle u=0} ma postać s → ( 0 ) = d r → d u | d r → d u | | u = 0 = [ 2 u , 2 e 2 u , − sin u ] 4 u 2 + 4 e 4 u + sin 2 u | u = 0 = [ 0 , 1 , 0 ] . {\displaystyle {\vec {s}}(0)=\left.{\frac {\frac {d{\vec {r}}}{du}}{|{\frac {d{\vec {r}}}{du}}|}}\right|_{u=0}=\left.{\frac {[2u,2e^{2u},\ -\sin {u}]}{\sqrt {4u^{2}+4e^{4u}+\sin ^{2}{u}}}}\right|_{u=0}=[0,1,0].}
Wektor ten wyznacza kierunek prostej stycznej do krzywej w punkcie r → ( x 0 , y 0 , z 0 ) = [ 1 , 1 , 1 ] {\displaystyle {\vec {r}}(x_{0},y_{0},z_{0})=[1,1,1]} o równaniu
R → = r → ( x 0 , y 0 , z 0 ) + a u s → u = [ 1 , 1 , 1 ] + a u [ 0 , 1 , 0 ] . {\displaystyle {\vec {R}}={\vec {r}}(x_{0},y_{0},z_{0})+a_{u}{\vec {s}}_{u}=[1,1,1]+a_{u}[0,1,0].} Wektor styczny do krzywej w przestrzeni R n {\displaystyle R^{n}}
Współrzędne kartezjańskie (1) Jeżeli w przestrzeni R n {\displaystyle R^{n}} dany jest układ współrzędnych kartezjańskich , to krzywa może być zadana za pomocą równania parametrycznego r → ( u ) {\displaystyle {\vec {r}}(u)}
r → ( u ) = [ x 1 ( u ) , x 2 ( u ) , … , x n ( u ) ] , {\displaystyle {\vec {r}}(u)=[x^{1}(u),x^{2}(u),\dots ,x^{n}(u)],} a ⩽ u ⩽ b . {\displaystyle {}\quad a\leqslant u\leqslant b.} (2) Współrzędne T i {\displaystyle T^{i}} wektora stycznego do krzywej wyznacza się, licząc pochodne współrzędnych wektora wodzącego krzywej po parametrze u {\displaystyle u}
T i = d x i d u . {\displaystyle T^{i}={\frac {dx^{i}}{du}}.}
Współrzędne krzywoliniowe W układzie współrzędnych krzywoliniowych
q i = q i ( x 1 , x 2 , … , x n ) , i = 1 , … , n {\displaystyle q^{i}=q^{i}(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}),\quad i=1,\dots ,n} mamy wzory analogiczne jak w układzie kartezjańskim:
(1) krzywa jest zadana równaniami parametrycznymi
q i ( x i ) = q i ( u ) , i = 1 , … , n , {\displaystyle q^{i}(x^{i})=q^{i}(u),\quad i=1,\dots ,n,} (2) współrzędne wektora stycznego do krzywej T ′ i , i = 1 , … , n {\displaystyle T^{\,'i},\quad i=1,\dots ,n} oblicza się, licząc pochodne współrzędnych q i {\displaystyle q^{i}} po parametrze t {\displaystyle t} [1]
T ′ i = d q i d t , {\displaystyle T^{\,'i}={\frac {dq^{i}}{dt}},} przy tym należy pamiętać, iż współrzędne powyższe ma wektor w tzw. bazie naturalnej (por. współrzędne krzywoliniowe ).
Dowód:
Wektor styczny jest wektorem kontrawariantnym (jako iloraz różniczki współrzędnych przez różniczkę parametru, który jest niezmiennikiem transformacji współrzędnych). Wektor kontrawariantny przy przejściu z jednego układu (tu kartezjańskiego) na inny (tu krzywoliniowy) transformuje się wg prawa[2]
T ′ i = ∂ q i ∂ x s T s . {\displaystyle T^{\,'i}={\frac {\partial q^{i}}{\partial x^{s}}}T^{s}.} Podstawiając T s = d x s d u , {\displaystyle T^{s}={\frac {dx^{s}}{du}},} otrzymamy
T ′ i = ∂ q i ∂ x s d x s d u . {\displaystyle T^{\,'i}={\frac {\partial q^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{du}}.} Jednocześnie wiadomo, że zachodzi zależność między różniczkami w starym i nowym układzie
d q i d t = ∂ q i ∂ x s d x s d t . {\displaystyle {\frac {dq^{i}}{dt}}={\frac {\partial q^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}.} Porównując dwa ostatnie wzory, widać, że musi zachodzić T ′ i = d q i d t , {\displaystyle T^{\,'i}={\frac {dq^{i}}{dt}},} cnd.
Zobacz też linia geodezyjna przestrzeń styczna styczna wektor normalny
Przypisy
Bibliografia Witold Kołodziej, Analiza matematyczna , Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009. Tadeusz Trajdos, Matematyka, cz. III , Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2012, s. 254–261.
Literatura dodatkowa David Kay: Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus . New York: McGraw-Hill, 1988. Brak numerów stron w książce Encyklopedie internetowe (wektor ):
Britannica : topic/tangent-vector Catalana: 0239762