Układ swobodny

Układ swobodny – układ dynamiczny swobodny to układ dynamiczny, na który nie oddziałują zewnętrzne wymuszenia.

Równanie stanu liniowego układu swobodnego (zwane też jednorodnym równaniem stanu) ma postać (w zapisie wektorowo-macierzowym):

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {Ax} (t).}$

Brak w nim więc członu związanego z zewnętrznym wymuszeniem: ${\displaystyle \mathbf {Bu} (t).}$

Rozwiązanie tego równania przy zerowych warunkach początkowych jest trywialne: ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {(} 0).}$ Natomiast przy przyjęciu warunków początkowych różnych od zera otrzymuje się tak zwane rozwiązanie swobodne (opowiadające składowej swobodnej w rozwiązaniu równań stanu dla układu poddanego wymuszeniom zewnętrznym zob. macierz przejścia).

W przypadku układu pierwszego rzędu, to znaczy przy równaniu ${\displaystyle {\dot {x}}=ax;}$ z warunkiem początkowym ${\displaystyle x(0)=x^{0}}$ rozwiązanie swobodne ma postać ${\displaystyle x(t)=e^{at}x^{0},}$ co wynika z metody ogólnej rozwiązywania równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach.

W przypadku układu rzędu ${\displaystyle n}$ rozwiązanie równania ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {Ax} ;}$ z warunkiem początkowym ${\displaystyle \mathbf {x} (0)=\mathbf {x} ^{0}}$ można zapisać analogicznie w postaci ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} ^{0}.}$

• macierz przejścia