Twierdzenie van Aubela

Twierdzenia van Aubela – twierdzenia geometrii płaskiej przypisywane H.H. van Aubelowi. W literaturze geometrycznej określenie twierdzenie van Aubela używane jest w odniesieniu do przynajmniej dwóch różnych wyników.

Twierdzenie

Przypuśćmy, że jest dany czworokąt ${\displaystyle ABCD.}$ Po zewnętrznej stronie każdego boku tego czworokąta zbudujmy kwadrat, otrzymując kwadraty ${\displaystyle K_{AB},}$ ${\displaystyle K_{BC},}$ ${\displaystyle K_{CD}}$ i ${\displaystyle K_{DA}}$ (takie, że odcinek ${\displaystyle XY}$ jest bokiem kwadratu ${\displaystyle K_{XY}}$). Wówczas punkty przecięcia przekątnych kwadratów zbudowanych na przeciwległych bokach wyjściowego czworokąta wyznaczają parę odcinków równych i prostopadłych. Inaczej mówiąc, jeśli ${\displaystyle M,N,O,P}$ są środkami kwadratów ${\displaystyle K_{AB},}$ ${\displaystyle K_{BC},}$ ${\displaystyle K_{CD},}$ ${\displaystyle K_{DA}}$ (odpowiednio), to odcinki ${\displaystyle OM}$ i ${\displaystyle NP}$ są prostopadłe i mają tę samą długość.

Dowód

Rozważmy obrót o ${\displaystyle 90^{\circ }}$ dookoła punktu ${\displaystyle M,}$ przy którym punkt ${\displaystyle A}$ przechodzi na punkt ${\displaystyle B.}$ Niech ${\displaystyle P'}$ oznacza obraz punktu ${\displaystyle P}$ przy tym przekształceniu. Wówczas, odcinki ${\displaystyle BP'}$ i ${\displaystyle AP}$ są równe i prostopadłe. Z tego wynika, że odcinki ${\displaystyle PD}$ i ${\displaystyle BP'}$ są równe i równoległe, czyli czworokąt ${\displaystyle BP'DP}$ jest równoległobokiem. Niech ${\displaystyle Q}$ będzie środkiem odcinka ${\displaystyle DB.}$ Ponieważ jest to środek odcinka ${\displaystyle PP',}$ zatem jest to również środek kwadratu opartego na boku ${\displaystyle PM,}$ czyli odcinki ${\displaystyle PQ}$ i ${\displaystyle QM}$ są równe i prostopadłe. Analogicznie dowodzimy, że odcinki ${\displaystyle OQ}$ i ${\displaystyle QN}$ są równe i prostopadłe. To oznacza, że przy takim obrocie o ${\displaystyle 90^{\circ }}$ dookoła punktu ${\displaystyle Q,}$ że punkt ${\displaystyle P}$ przechodzi na punkt ${\displaystyle M,}$ punkt ${\displaystyle N}$ przechodzi na punkt ${\displaystyle O}$ – zatem istotnie, odcinki ${\displaystyle OM}$ i ${\displaystyle NP}$ są równe i prostopadłe, co kończy dowód

Twierdzenie

Niech będzie dany trójkąt ${\displaystyle ABC}$ i niech ${\displaystyle P}$ będzie punktem przecięcia trzech prostych łączących wierzchołki trójkąta z przeciwległymi bokami (lub ich przedłużeniami). Niech proste te będą wyznaczone przez odcinki ${\displaystyle AA_{1},}$ ${\displaystyle BB_{1}}$ i ${\displaystyle CC_{1},}$ gdzie ${\displaystyle A_{1}\in {\overline {BC}},}$ ${\displaystyle B_{1}\in {\overline {AC}},}$ ${\displaystyle C_{1}\in {\overline {AB}}.}$ Wówczas^[1]

${\displaystyle {\frac {AP}{PA_{1}}}={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}.}$

Dowód

Niech ${\displaystyle P_{\triangle XYZ}}$ oznacza pole trójkąta ${\displaystyle XYZ.}$ Trójkąty ${\displaystyle ABC}$ i ${\displaystyle PBC}$ mają wspólny bok, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich wysokości, a ten ostatni jest taki sam jak ${\displaystyle {\frac {AA_{1}}{PA_{1}}}.}$ Zachodzi więc

${\displaystyle {\frac {AA_{1}}{PA_{1}}}={\frac {P_{\triangle ABC}}{P_{\triangle BCP}}},}$

skąd wynika, że

${\displaystyle {\frac {AP}{PA_{1}}}={\frac {P_{\triangle APC}+P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}}.}$

Rozważając trójkąty ${\displaystyle ACC_{1}}$ i ${\displaystyle BCC_{1},}$ zauważamy, że mają one tę samą wysokość (opuszczoną ze wspólnego wierzchołka ${\displaystyle C}$), a zatem stosunek ich pól jest taki sam jak stosunek długości ich podstaw:

${\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle ACC_{1}}}{P_{\triangle BCC_{1}}}}.}$

W podobny sposób otrzymujemy też

${\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle AC_{1}P}}{P_{\triangle BC_{1}P}}}.}$

Zatem

${\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle ACP}+P_{\triangle AC_{1}P}}{P_{\triangle BCP}+P_{\triangle BC_{1}P}}}={\frac {P_{\triangle AC_{1}P}}{P_{\triangle BC_{1}P}}},}$

a z tych równości wynika, że

(i)   ${\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle ACP}}{P_{\triangle BCP}}}.}$

Analogicznie uzasadniamy równość

(ii)  ${\displaystyle {\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}}.}$

Dodając stronami równości (i) oraz (ii), otrzymujemy

${\displaystyle {\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}+{\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle APC}+P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}}={\frac {AP}{PA_{1}}},}$

co należało wykazać.

• twierdzenie Cevy
• twierdzenie Menelaosa
• twierdzenie Napoleona

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., van Aubel’s Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• Warendorff, Jay: Van Aubel’s Theorem for Triangles – a demonstration. MathWorld – A Wolfram Web Resource. (ang.).
• Warendorff, Jay: Van Aubel’s Theorem for Quadrilaterals – a demonstration. MathWorld – A Wolfram Web Resource. (ang.).